Kreis und Gerade. Unendlich ferne imaginäre Kreispunkte. 
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so sind die Wurzeln reell und verschieden; hingegen reell und gleich, 
wenn r — 1 d |, endlich imaginär, wenn r < | ö ; dabei bedeutet (180) 
ö den Abstand des Kreismittelpunktes von der Geraden. 
In dem mittleren der drei unterschiedenen Fälle hat die Gerade 
mit dem Kreise zwei vereinigt liegende Punkte gemein, man sagt dann, 
sie berühre oder tangiere den Kreis; die Bedingung dafür drückt sich 
also in dem Ansätze aus: 
(1 -f- m 2 )r 2 = (b — ma — w) 2 . (3) 
193. Die unendlich fernen imaginären Kreispunkte. Ist 
M(x/y) ein Schnittpunkt der Geraden g mit dem Kreise /r, wobei, 
wie im vorigen Artikel, die beiden Linien durch 
h = (x — a) 2 + (y — b) 2 — r 2 = 0 (l) 
g = y — mx — n = 0 (2) 
gegeben sein sollen, so ist ^ ^ == u der Richtungskoeffizient des nach 
ihm geführten Halbmessers; fügt man also zu den Gleichungen (1), 
(2) noch die dritte 
y — b — g{x — a) = 0 (3) 
und eliminiert aus allen drei Gleichungen x — a und y — b, so ent 
steht eine Gleichung zwischen den Parametern von g und h und dem 
Richtungskoeffizienten u. Zu ihrer Ableitung bringe man (2) auf 
die Form , , . , , n / OSs n 
y — b — m(x — a) -f b — ma — n = U (2 *) 
und berechne aus (3) und (2*) 
h — ma — n y u (h — m a — n) 
x — a = 
y 
[i ' " m — fi ' 
die Einsetzung dieser Werte in (l) liefert die erwähnte Gleichung: 
2 1 
y -(- 
2mr 2 . Cb — ma—n) 2 — m 2 r 2 A 
,, , ,,(i -f- 75 i-» =~ — G; 
(& — ma — ny — r Ai (0 — ma 
■ n) 2 — r- 
ihre Wurzeln bestimmen die Richtungskoeffizienten der nach den 
Schnittpunkten von g mit h laufenden Kreisradien. 
Nun ist aber (133) 
(b — ma — n)- 
1 -f- m- 
das Quadrat der Entfernung des Kreisraittelpunktes von g: führt man 
diese Größe in die vorige Gleichung ein, so lautet diese: 
y 2 + /1 
2mr 2 
(1 m~) ö 2 — r‘ 
y + 
(1 -j- m' 2 ] ()- — m 2 r 2 
(1 -j- 7n 2 )8 2 — r* 
0. 
(4) 
Wächst d ins Unendliche, so konvergiert der Koeffizient von u 
gegen Null, das absolute Glied gegen 1; folglich bestimmen sich die