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Analytische Geometrie der Ebene. 5. Der Kreis. 
Richtungskoeffizienteii derjenigen Radien, die nach den (imaginären) 
Schnittpunkten von Je mit der unendlich fernen Geraden der Ebene 
laufen, aus der Gleichung 
g 2 + 1 = 0 
(5) 
sind also selbst imaginär und unabhängig von den Parametern des 
Kreises. Darin liegt der analytische Grund für die Aussage, daß alle 
Kreise der Ebene durch zwei feste Punhte, die unendlich fernen imagi 
nären Krßispunlde, gehen- 
194. Tangentenprotaleme. Die Differentialrechnung löst die 
Aufgabe, an eine Kurve in einem ihrer Punkte die Tangente zu legen, 
für alle analytisch dargestellten Linien in einheitlicher Weise; denn 
unter Voraussetzung rechtwinkliger Koordinaten ist der Richtungs 
koeffizient der Tangente durch den Differentialquotienten y' von y 
nach x an der betreffenden Stelle M(x y) bestimmt (56). Heißen 
also die Koordinaten eines beliebigen Punktes der Tangente £, rj, so ist 
deren Gleichung. 
Über die Bestimmung von y' ist nichts weiter zu bemerken, 
wenn die Gleichung der Kurve in der Gestalt 
V = /‘0) 
(2) 
gegeben ist oder leicht auf diese Form gebracht werden kann. 
Hat sie hingegen die Gestalt 
f{x,y) = 0, 
dann führt folgende Betrachtung zum Ziele. Nimmt man auf der 
Linie neben M noch einen zweiten Punkt M'(x -f- h y ff- 1c) an, so 
und somit weiter 
wofür in erweiterter Form 
fix + h,y +Je) — fix, y + k)-f fix, y Eli) — f{x, y) = 0 
geschrieben werden kann. Nach dem Mittelwertsatz 73 ist 
fix + h, y + Je) — / (x, y + Je) = hfxix + Oh, y -)- Je), 0 < 0 < 1, 
fix, y + Je) - fix, y) = Jifyix, y -t oje), 0 < 0 1 < 1, 
wobei fi, f' v Zeichen für die partiellen Ableitungen von f\x,y) nach 
x, bzw. nach y sind (55); infolgedessen verwandelt sich die obige 
Gleichung nach Division durch h in die folgende: 
f'xixP Oh, ijPJe)Ptyix,y + OJc)-^ = 0;