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Analytische Geometrie der Ebene. § 6. Die Linien zweiter Ordnung. 
Das weitere Verhalten von y hängt von Y und dieses wiederum 
von der im allgemeinen quadratischen Funktion 
X = Mx*+2Nx+ P (4) 
ah. Hierbei sind die Fälle M^r-Q und M — 0 wesentlich zu unter 
scheiden. 
Wenn M ={= 0 ist, so kann X um gesetzt werden in 
X = 
N 2 — MJP 
M 
was sich durch die Substitution 
x + m — % (8) 
und die Abkürzung 
X 2 - 31F = A (9) 
weiter vereinfacht zu 
X-M?--- (10) 
Die Substitution (8) bedeutet eine Translation des Koordinaten 
systems parallel zur Abszissenachse um die Strecke — ^ (168), und 
die Gleichung (10) zeigt, daß nun auch in bezug auf die neue 
Ordinatenachse Symmetrie stattfiudet, wobei die Gerade d die Symmetrie 
richtung bezeichnet. 
Es kann nun X folgende Verhaltuugsweisen zeigen: 
I. Ist M < 0 und a)z/ > 0, so ist X eine Differenz, die ihren 
größten Wert — ^ erlangt, wenn der variable Subtrahent verschwindet, 
also bei | = 0; ferner hat X die beiden reellen Nullstellen 
— M ’ 
zwischen denen es positiv, außerhalb deren Intervall es negativ ist. 
Bei b) z/ < 0 ist X die Summe zwei negativer Größen, bleibt 
beständig negativ und Y imaginär. 
Schließlich, wenn c) A = 0, reduziert sich X auf ein negatives 
Glied, das für | = 0 verschwindet; infolgedessen ist Y imaginär bis 
auf die Stelle £ = 0, an der es = 0 ist. 
II. Ist M > 0 und a) A > 0, so erscheint X als Differenz mit 
einem variablen Minuend, hat die reellen Nullstellen 
zwischen denen es negativ ist, während es außerhalb ihres Intervalls 
positiv bleibt. 
Wenn b) A<0, wird X eine Summe von zwei positiven Größen,