300 Analytische Geometrie der Ebene. § 6. Die Linien zweiter Ordnung. 
gemein haben als das einzige reelle Gebilde, das der Gleichung genügt. 
Man unterscheidet demgemäß zwischen eigentlichen und degenerierten 
Linien zweiter Ordnung. 
Die Bedingungen, unter welchen Linien der letzteren Art auftreten, 
sind im ersten Hauptfalle, (7=)=0: 
I c ): M < 0, A = 0 
II O ) : Ai > 0, A — 0 
IIP) : M = 0, N= 0; 
mit Rücksicht darauf, daß A = N 2 —31P, ist die Bedingung 
A = 0 (21) 
allen drei Fällen gemeinsam; —- im zweiten Hauptfalle, (7=0: 
IV b ): Teilbarkeit von Ax 2 -f 2Bx + F durch Bx + E. 
Diese Teilbarkeit führte zu dem Ansätze: 
Äx 2 -f 2Bx + F = - 2{Bx + E) {mx + »), 
der bei beliebigem x nur dann besteht, wenn 
2Bm -j- A = 0 
-Ewt + Bn -f D = 0 
2A 7 w + P = 0 ; 
und die notwendige Bedingung für die Koexistenz dieser Gleichungen 
lautet (121, III): rB \ A 
E B 1) =0, 
0 2E F 
ausgeführt: 
AE 2 + B 2 F-2BI)E = 0. (22) 
Diese Bedingung ist aber in der vorigen, (21), enthalten. Es 
ist nämlich 
A = (BE — CD) 2 — (H 2 — AC)(E 2 — CF) 
= 6’[Hi? 2 + B 2 F+ CB 3 — ACF— 2BDE], 
und da im ersten Hauptfalle C =(= 0, so ist hier die Bedingung für 
den Zerfall: 
AE 2 + B 2 F + CD 2 -ACF- 2BBE = 0, (23) 
und dies geht tatsächlich in dem zweiten Hauptfalle, wo (7=0, in 
(22) über. 
Man kann sich umgekehrt die Frage vorlegen, unter welcher 
Bedingung die allgemeine Gleichung (1), f(x, y) = 0, zwei Gerade 
darstellt; notwendig und ausreichend hierfür ist, daß sich die quadra 
tische Funktion f(x, y) in zwei lineare Faktoren 
g = ax + ßy + y 
9= u'x + ß'y + 7'