Degenerierte Linien zweiter Ordnung. 301 
mit reellen oder imaginären Koeffizienten zerlegen lasse, daß also 
/‘0> V) = 99' 
sei. Daraus ergeben sieb durch partielle Differentiation nach x und y 
die ebenfalls identischen Gleichungen: 
2 Ax -f- 2 By -f- 2D == ccy -f- a y 
2Bx + 2 Cy + 2E = ßy' + ß'y- 
bringt mau aber f{x, y) einerseits und yy' anderseits in die Gestalt: 
f (Xj y) ~ (Ax -(- By -)- B^x -f- (Bx -(- Oy -J- B)y -)- J)x -f- By -)- B 
yy' = + ßy)g' + W x + ß'y)g + v<j + r'g, 
so ergibt sich daraus und aus (24) mittels eines einfachen Schlusses, 
daß auch identisch _ ^ . ^-n , ^ n , . , _ , 
2Bx + 2Ey + 2F=yy+yy (24*) 
sein müsse. 
Da nun y = 0 und y = 0 unter allen Umständen einen reellen 
Punkt, sei es im Endlichen oder Unendlichen, gemein haben, so existiert 
ein Wertepaar x, y, das die drei Gleichungen 
Ax -f By -f- T) = 0 
Bx -f Cy -f- E = 0 
Dx + By -4- B — 0 
zugleich befriedigt, was aber nur dann geschehen kann, wenn (121, IIP) 
A B B 
B C E = 0 (25) 
DBB 
ist. Die Entwicklung dieser Determinante stimmt aber, vom Vor 
zeichen abgesehen, mit der linken Seite von (23) überein. 
Man nennt die Determinante in (25), deren Verschwinden also 
den Zerfall der Linie anzeigt, die Biskriminante der Gleichung (1). 
204. Beispiele. Es sollen nun die vorstehenden Kriterien auf 
eine Reihe von speziellen Gleichungen zur Anwendung gebracht werden. 
1. In der Gleichung ¿c 2 — 2xy + 4?/ 2 — 6x -f- 4=y + 3 = 0 ist: 
A = 1, J5 1, 6 y == 4, D = — 3, E=2, F= 3: 
M = - 3, N = 10, P== — 8; 
A = 16] 
man hat es mit dem Fall I a ) zu tun, die Gleichung stellt eine wirk 
liche Ellipse dar.