Irrationale Zahlen, 
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welche natürliche Zahl p auch sei; dann aber ist 
\ a n+p~ a n\< £ > 
also das Merkmal einer Fundamentalreihe vorhanden. 
Erfüllt insbesondere die Zahl 0 die Forderung (3), ist also 
a n \<ö, (5) 
solange n > m, so heißt die Fundamentalreihe insbesondere eine Ele 
mentarreihe] es ist dann 
lim a n = 0. (6) 
Läßt sich keine rationale Zahl angeben, die der Bedingung (3) 
genügt, dann ordnet man der Fundamentalreihe eine neue Zahl zu, 
die man als ihre ideelle Grenze auffaßt und eine irrationale Zahl nennt. 
Der Begriff der „einer Fundamentalreihe zugeordneten Zahl“ um 
faßt also die rationalen und die irrationalen Zahlen. 
Beispiele. 1. Die Reihe \ , y, * 
reihe; denn 
n -(- p n p 
n -f- 1 
ist eine Fundamental- 
< 
n-\-p-\-1 n-f-1 (n l)(n P -)- 1) n-\-l 
kann durch Wahl von n allein beliebig klein gemacht werden. Sie 
hat die Grenze 1, weil 
-durch Wahl von n beliebig klein gemacht werden kann. Die Reihe 
definiert also die Zahl 1; hiermit ist der Sinn des symbolischen An 
satzes 
12 3 \ 
■erklärt. 
2. Die Reihe 1, 
1 = 
l 
3’ 
2 ; 3 
ist eine Fundamentalreihe, und zwar 
eine Elementarreihe, weil a n — beliebig klein gemacht werden kann 
durch Wahl von n. Man drückt dies durch den Ansatz aus: 
°=(vLW 
3. Die mittels des Verfahrens der arithmetischen Quadratwurzel- 
ausziehung unbegrenzt fortsetzbare Reihe 1, 1,4, 1,41, 1,414, • • • 
ist nach den unter 12,2. angestellten Betrachtungen eine Fundamental 
reihe und die ihr zugeordnete Zahl ist ]/2, so daß man schreiben kann: 
/2 - (1,1,4, 1,41, 1,414, ■ ■ •). 
14. Wenn die Reihen 
Ozuber, Höhere Mathematik. 
y $2 f %} 
^17 ^2 7 ^3 7 
(7) 
(8)