306 Analytische Geometrie der Ebene. § 6. Die Linien zweiter Ordnung. 
A B 
B C 
= 0 
Verbindet man mit der Gleichung 
f{x, y) = Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 -f- 2Dx 4- 2Ey + F = 0 (1) 
die parametrischen Gleichungen (177) 
x = % + s cos a 
(2) 
V — ^ -r s sm a 
der Geraden, die durch den Punkt geht und mit der x-Achse den 
Winkel u bildet, so liefert die Gleichung 
/(£ + s cos a, rj -f s sin a) = (Ä cos 2 a -j- 2B cos u sin a -f C sin 2 a)s 2 
+ №% V) cos « + fvit, V) sin «]« + /'(£> V) = 0 ( 3 ) 
in ihren Wurzeln s 17 s 2 die Abstände des Punktes I/17 von den 
Schnittpunkten M 1} M 2 der Geraden (2) mit der Linie (1). Der 
Punkt ist insbesondere der Mittelpunkt der Sehne M X M 2 , wenn 
Sj, s 2 entgegengesetzt bezeichnet und dem Betrage nach gleich sind, 
und dies findet dann statt, wenn die Gleichung (3) rein qadratisch, also 
/|(|, rf) cos a + /((£, y) sin cc = 0 (4) 
ist. Diese Gleichung stellt den Ort der Mittelpunkte aller Sehnen 
vom Richtungswinkel a oder vom Richtungskoeffizienten m = igcc 
dar; ersetzt man /£, /,' durch ihre Ausdrücke, so wird aus (4) 
(Ä + 5w)| + (B + Cm) 7] -(- D -f- Em = 0. (5) 
Hiermit ist erwiesen, daß die Durchmesser einer Linie zweiter 
Ordnung gerade Linien sind. Die Gleichung (5), in symbolischer Form 
Ü(&,n) + = °; 
stellt bei variablem m einen Geradenböschel dar, dessen Träger durch 
die Gleichungen ^ _ 0> ^ _ 0 
gegeben ist: diese Gleichungen bestimmen aber (206) den Mittel- 
O o 1 O N J 
punkt. 
Die Durchmesser einer Linie zweiter Ordnung bilden demnach einen 
Geradenbüschel, dessen Träger der Mittelpunkt der Linie ist; bei den 
Linien mit einem Mittelpunkt gehen also alle Durchmesser durch einen 
eigentlichen Funkt, bei der Parabel sind sie untereinander parallel. 
209. Paare konjugierter Durchmesser. Der Durchmesser, 
der die Sehnen vom Richtungskoeffizienten m halbiert, hat selbst, wie 
aus seiner Gleichung (5) hervorgeht, den Richtungskoeffizienten 
, A4- B m 
m = — -p - —^ ; 
B + Cm ’ 
m' ändert sich mit m nur dann, wenn