Durchmesser. Konjugierte Durchmesser. Achsen. 
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ist, also bei der Ellipse und Hyperbel; ist hingegen M = 0, also 
AB , 
1 = n — k, so bleibt m konstant == — k. 
±>L 
Von diesem Falle abgesehen besteht zwischen dem Richtungs 
koeffizienten der Sehnenschar und dem Richtungskoeffizienten des zu 
gehörigen Durchmessers die Gleichung: 
Cmm' -)- JB(m + m') + A — 0. 
(6) 
Diese Gleichung hat einen solchen Bau, daß sie sich nicht ändert, 
wenn man m und m' miteinander vertauscht; daraus entspringt der 
folgende Sachverhalt: Wählt man von zwei Zahlen m, m, die der 
Gleichung (6) genügen, die eine als Richtungskoeffizienten einer 
Sehnenschar, so bedeutet die andere den Richtungskoeffizienten des 
die Sehnenschar halbierenden Durchmessers. 
Die Durchmesser einer Linie zweiter Ordnung mit eigentlichem 
Mittelpunkt ordnen sich hiernach zu Paaren solcher Art, daß der eine 
die zu dem andern parallelen Sehnen halbiert. Man bezeichnet die 
Durchmesser eines solchen Paares als konjugierte Durchmesser. 
Der Durchmesser vom Richtungskoeffizienten m schließt mit dem 
ihm konjugierten zwei supplementäre Winkel ein, deren einer, co, durch 
m' — m A-j- 2 Bm -j- Cm 2 
1 -j- mm' Bm 2 -)- (A — G)m — B 
bestimmt ist. 
210. Achsen. Daran knüpft sich naturgemäß die Frage nach 
solchen Paaren konjugierter Durchmesser an, die aufeinander senk 
recht stehen; derartige Durchmesser sind Achsen orthogonaler Sym 
metrie und werden darum als Achsen der betreffenden Linie bezeichnet. 
Zufolge der Formel (7) haben die Richtungskoeffizienten der 
Achsen der Gleichung 
Bm 1 + (M — G)m — B = 0 
(8) 
zu genügen. 
Diese Gleichung ist identisch, d. h. durch jeden Wert von m, er 
füllt, wenn gleichzeitig A = C B = 0 
ist, Bedingungen, die den Kreis kennzeichnen (188, 200). Der Kreis 
hat sonach unendlich viele Achsenpaare, mit andern Worten, von 
welchem Durchmesser man auch ausgeht, der dazu konjugierte steht 
immer senkrecht auf ihm. 
In den Fällen der Ellipse und Hyperbel gibt es nur ein Paar von 
Achsen, denn die Gleichung (8) liefert dann stets ein Paar reeller 
Wurzeln m i: m 2 , die die Eigenschaft haben, daß m x m 2 = — 1 ist; 
diese Wurzeln sind in der Formel 
= — (A — 6j + V(A — Cf-j- 1 />'- 
(9) 
enthalten.