18 Der Zahlbegriff. § 1. Reelle Zahlen. 
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gegen die Grenzen a, b konvergieren, so konvergieren die Reihen 
a \ + 
a 2 fi- b 2 , a. d -\-b z , • • • 
ü 2 b 2 , a 3 b 3 , • • • 
«1&1, 
ü 2 b 2 , ^3^3) ■ ■ ■ 
■ 
(9) 
«i 
a 9 a s 
V 
b? K’ "> 
n a b, 
a — b, ab, ^ beziehungsweise; 
die letzte 
Behauptung nur unter der Voraussetzung b =4= 0. 
Man braucht, um die Richtigkeit dieser Aussage einzusehen, sich 
nur klar zu machen, daß die Differenzen 
a n + K~ (« + &), dn-K-iu-'b), a n b n — ab, f ~ h ’ 
die sich umformen lassen in 
«■* - a + (K - &) 
«n -a- 0>n - &) 
(«„ - a)b + [b n - b)a + (a n - a)(h n - b) 
(a — a)b — (b n — h)a 
b n b~ ’ 
beliebig klein gemacht werden können. 
Dadurch ist zugleich der Satz bewiesen: Sind die Reihen (7), 
(8) Fundamentalreihen, so sind es auch alle unter (9) zusammen 
gefaßten Reihen, die letzte unter der Voraussetzung, daß (8) nicht 
eine Elementarreihe ist. 
Dehnt man die Resultate dieser Betrachtung auch auf den Fall 
ideeller Grenzen aus, so sind dadurch Definitionen für die Summe, 
Differenz, das Produkt und den Quotienten zweier irrationalen 
Zahlen gegeben. 
Zwei Fundamentalreihen (7), (8) stellen eine und dieselbe Zahl 
dar (sind äquivalent), wenn a 1 — b 1 , a 2 — b 2 , a 3 — b 3 , • • • eine Elementar 
reihe ist. 
Stellt die Reihe a 1} a 2 , « 3 , • • • die Zahl a dar, so ist der Reihe 
— a 17 —a 2 , — ß 3 , ••• die Zahl —a zuzuordnen. 
Von den Zahlen a, b, die durch die Fundamentalreihen a i} a 27 
a 3 , • • • und b lf b 2 , & 3 , • • • definiert sind, sagt man, daß a > b, bzw. 
a <Cb sei, wenn die Fundamentalreihe a x — b i} a 2 — b 2 , o s — b 3 , 
von einer Stelle ab lauter positive bzw. lauter negative Glieder hat, 
ohne eine Elementarreihe zu sein. 
Damit sind für das Vergleichen durch Fundamentalreihen definierter 
Zahlen und für das Rechnen mit solchen Zahlen Regeln aufgestellt, 
welche die für rationale Zahlen geltenden Regeln mit umfassen.