316 Analytische Geometrie der Ebene. § 6. Die Linien zweiter Ordnung. 
'1 
2(Ax + By -f D), 
2(Bx + Cy -f- E), 
x/y stellt sich die Tangente an die Linie f(x,y) = 0 durch die Glei 
chung (194) 
(£ - x)f x + (y — y)f; = 0 
dar. Dies auf die allgemeine Gleichung zweiten Grades 
f(x,y) = Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 -f 21)x + 2Ey -f F= 0 (1) 
angewendet, führt, da 
fx{x, y) 
fy( x >y) 
zunächst zu der Gleichung: 
2(Äx + By -j- D)| + 2(Bx + Cy E)y — (xf' x -j- yf[//) = 0; (2) 
es ist aber 
xfx + yfy = 2(Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + Dx + Ey) = — 2(Dx PEy-f F), 
infolgedessen schreibt sich die Gleichung der Tangente endgiltig: 
(Ax + By + D)| + (Bx + Cy + E)rj + (Dx + Ey + F) = 0. (3) 
Nach x, y geordnet lautet sie: 
(¿5 + Sy + D)x + (B% + C V + E)y + (D| + Ey + F) = 0, (3*) 
der Vergleich mit (3) zeigt die Vertauschbarkeit von x/y und |jy. 
II. Sollen die Tangenten durch einen gegebenen Punkt P(x 0 /y 0 ) 
gelegt werden, so hat man zur Bestimmung ihrer Berührungspunkte 
xjy außer der Gleichung (1) die aus (3*) resultierende Gleichung 
(Ax q + By 0 + D)x + (Bx 0 + Cy 0 + E)y + (Dx 0 + Ey 0 + F) = 0, (4) 
die eben die Forderung ausdrückt, daß die Tangente durch P zu gehen 
hat. Bei veränderlichem x, y stellt diese Gleichung eine stets reelle 
Gerade p dar, die in ihren Schnittpunkten mit (1) die gesuchten Be 
rührungspunkte liefert; je nachdem diese Schnittpunkte reell und ver 
schieden und vereinigt oder aber imaginär sind, gibt es zwei, eine 
oder keine Tangente durch P. 
Man nennt die Gerade p die Polare von P in bezug auf den 
Kegelschnitt (1), P den Pol von p. 
Die vorhin bemerkte Vertauschbarkeit der beiden Koordinaten 
paare in (4) hat folgendes zu bedeuten: Die Polare eines Punktes 
von p geht durch P und der Pol einer Geraden durch P liegt auf p. 
III. Sollen die Tangenten einer gegebenen Geraden parallel sein, 
also einen bestimmten Richtungskoeffizienten m haben, so dient zur 
Bestimmung ihrer Berührungspunkte x/y neben der Gleichung (1) 
noch die aus (3) resultierende Gleichung 
Ax 4- By D 
Bx+Cy + E 
= m. 
(5)