Richtungscosinus einer Geraden. 
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hingegen cc + ß < —, so ist keine Ecke konstruierbar, somit auch keine 
Gerade mit den Richtungswinkeln k, ß möglich. 
Die Richtungswinkel einer Geraden sind also nicht unabhängig 
voneinander. 
Die Art der Abhängigkeit ergibt sich aus folgender Erwägung. 
Trägt man auf der Geraden die positive Strecke OM=r ab, so sind 
deren Projektionen auf den Achsen die Koordinaten x, y, z des Punktes 
M, mithin ist 
x = r cos a 
y = r cos ß 
z = r cos y- 
die Quadratsumme dieser Gleichungen ergibt mit Rücksicht auf (1): 
cos 2 a + cos 2 ß + cos 2 y = 1. 
(4) 
Man nennt cos a, cos ß, cos y die Bich- 
tungsliosinus der Geraden g und jeder mit ihr 
parallelen und gleichgerichteten. Es besteht 
also der Satz: Im recktwirildigen Sy dem ist 
die Summe der Quadrate der Bichtungskosinus 
einer jeden Geraden gleich 1. 
Ist beispielsweise a = 45°, ß = 60°, so 
hat man , , „ 
f + j + cos" y = 1, 
woraus cos y = + es gibt also zwei Ge 
rade, die der gestellten Bedingung genügen, und ihre Richtungswinkel 
sind 45°, 60°, 60° und 45°, 60°, 120°. 
221. Winkel zweier Geraden. Um den Winkel cd zweier 
gerichteten Geraden g x , g 2 , Fig. 99, aus ihren Richtungskosinus zu 
bestimmen, verlege man sie nach dem Ursprung und trage auf jeder 
vom Ursprung aus in positiver Richtung die Längeneinheit auf; die 
Endpunkte M l7 dieser Strecken haben dann die Koordinaten 
cos cq / cos ß x / cos y v cos a. 2 / cos ß 2 / cos y 2 ; folglich ist das Quadrat der 
sie verbindenden Strecke d (219): 
d 2 — (cos cc x — cos a 2 ) 2 + (cos ß t — cos ß 2 ) 2 -f- (cos y x — cos ^ 2 ) 2 
= 2 — 2 (cos cc x cos a 2 + cos ß x cos ß 2 + cos y x cos y 2 ); 
andererseits folgt aus dem Dreieck 0 M x M 2 : 
mithin ist 
d~ = 2 — 2 cos co; 
cos cd = cos a x cos a 2 + cos ß x cos ß 2 -f cos y x cos y 2 . 
O zuber, Höhere Mathematik. 21 
(1)