324 Analytische Geometrie des Raumes. § 1. Der Koordinatenbegriff. 
eine Vorstellung von der Gestalt einer Fläche verschaffen kann, deren 
Gleichung gegeben ist. 
II. Ist die Gleichung F(x, y, z) = 0 in bezug auf die Koordinaten 
algebraisch und vom w-ten Grade, so wird 
die zugehörige Fläche eine algebraische Fläche 
n-ter Ordnung (oder n- Grades) genannt. 
Auf Grund der Gleichung (2), 218 ist 
die Kugel als algebraische Fläche zweiter 
Ordnung zu bezeichnen. 
224. Linien. Eine Linie im Raume 
erscheint häufig und kann immer aufgefaßt 
Fig- 102. werden als Schnitt zweier Flächen. Ihre 
analytische Darstellung besteht daher in zwei 
koexistierenden Gleichungen zwischen den Koordinaten, hat also im 
allgemeinen die Form 
F{x,y,z) = 0 y 
G(x, y, z) = 0. i ' 
Eliminiert man eine der Koordinaten, so ergibt sich der Ort der 
Projektionen der Punkte der Linie, also deren Projektion selbst, auf 
der Ebene der beiden andern Koordinaten; so bestimmt die Gleichung, 
die aus der Elimination von z resultiert — sie heiße 
cp {x, y) = 0 (2) 
— die Projektion der Linie (1) auf der ir«/-Ebene. 
Da nun zwei Projektionen im allgemeinen ein Gebilde im Raume 
bestimmen, so sind zwei derartige Eliminationsresultate, etwa; 
cp {x, y) = 0 | 
(x, z) = 0 ) 
im allgemeinen geeignet, die Linie im Raume zu beschreiben. 
Die Gleichungen (3) lassen noch eine andere Auffassung zu. 
Nach 223, 2. stellt jede derselben eine Zylinderfläche dar, die erste 
eine solche parallel zur z-, die zweite parallel zur ?/-Achse, und die 
Linie im Raume erscheint als Durchschnitt beider. Es ist aber zu 
beachten, daß die beiden Zylinderflächen, zu denen die Linie im Raume 
geführt hat, außer ihr noch eine andere Linie gemein haben können; 
so schneiden sich die zwei projizierenden Zylinder, die man durch einen 
Kreis im Raume parallel den genannten Achsen legt, im allgemeinen 
noch nach einem zweiten Kreise, und es bedarf einer weiteren An 
gabe, wenn man den ersten Kreis allein zur analytischen Darstellung 
bringen will. 
Für die Untersuchung der Flächen sind deren ebene Schnitte von 
besonderer Wichtigkeit. Hier sollen zunächst nur die Schnitte mit