326 Analytische Geometrie des Raumes. § 2. Koordinatentransformation. 
ursprüngliche, gegeben sind. Es seien demnach 
a 1} h l , c 1 die Richtungskosinus yon OX', 
^2’ ^2? Gä V V » 0 \ , 
a 3> t>3> v v » Q ^ 5 
ferner , 
x, y, z die Koordinaten von M im alten, 
x', y', z' „ „ „ M „ neuen System. 
Die Projektion des Linienzugs OQ'F'M auf die ¿r-Achse ist die 
selbe wie die Projektion der Strecke OM auf die nämliche Achse, 
und diese ist x\ man hat also die Gleichung x ==» a x x' -j- a 2 y' + a % z'\ 
ähnliche Gleichungen ergeben sich durch Projektion desselben Linien- 
zngs auf die y- und ^-Achse; man hat also für den Übergang vom 
alten zum neuen System die Substitution: 
x = a x x + a 2 y' -f- a 3 z' 
* y = h x x' + b 2 y' + b 3 z' (1) 
* = c x x + c 2 y' + ft,*'. 
Zwischen den Koeffizienten dieser Gleichungen bestehen aber ver 
möge ihrer Bedeutung als Richtungskosinus dreier paarweise zueinander 
senkrechter Geraden die folgenden Beziehungen [220, (4.); (221, (3.)]: 
a i "h + cj = 1 ^2 a 3 ~h ^2 h “h C 2 C 3 ~ 0 
a\ + b\ -f c\ = 1 (2) a ä a x + \ \ -f- c 3 c x = 0 (3) 
a\ -f- b\ + c\ = 1 «j a 2 + b x b 2 + c t c 2 = 0 . 
Es ist eine Folge dieser Beziehungen, daß 
x 2 + y 2 + £ 2 = x' 2 + y' z + ü 2 (4) 
ist; diese Gleichung drückt die geometrisch evidente Tatsache aus, daß 
der Punkt M vom Ursprung des neuen Systems denselben Abstand 
hat wie vom Ursprung des alten (218). 
Man nennt eine Transformation der Koordinaten von der Form (1), 
bei der also die Transformationsgleichungen in bezug auf beide Systeme 
vom ersten Grade sind, eine lineare Transformation, insbesondere eine 
orthogonale, wenn sie durch den Ansatz (4), oder, was das gleiche 
besagt, durch die Relationen (2), (3) gekennzeichnet ist. 
Multipliziert man die Gleichungen (1) der Reihe nach mit a 1 , b 1} c t , 
dann mit a 2 , b 2 , c 2 , schließlich mit a 3 , b 3 , c 3 , und bildet jedesmal die 
Summe, so ergeben sich mit Rücksicht auf (2), (3) die Gleichungen: 
x = a t x -f b x y + c x z 
y'= a 2 x + b 2 y -f c 2 z (1*) 
z' = a s x + hV + C 3 Z : 
welche die inverse Transformation vermitteln. Da die Eigenschaft der