Ax + D = 0 
(4) 
Weitere Transformationen. Gleichung ersten Grades in x, y, z. 329 
die auftretenden Quadratwurzeln absolut genommen. Das mittlere 
Gleichungspaar bestimmt cp eindeutig in dem Intervall (0, 2n). 
§ 3. Ebene mul Gerade. 
229. Die G-leichung ersten Grades. Jede Gleichung ersten 
Grades in den Koordinaten x, y, z stellt eine Ebene dar. 
Die allgemeine Form einer solchen Gleichung ist 
Ax + By + Gz + D = 0. (1) 
Um den Satz zu erweisen, gehen wir von der Gleichung 
x = 0 (2) 
aus, die sämtliche Punkte der yz-Ebene unseres Koordinatensystems 
und nur diese kennzeichnet, also eine Ebene darstellt. 
Durch die allgemeine Transformation des Koordinatensystems ge 
langt diese Ebene in eine allgemeine Lage gegen das neue Koordinaten 
system, in welchem ihr, vermöge der in Kraft tretenden ersten Transfor 
mationsgleichung 227, (1.), die Gleichung 
x 0 + a i x' -f a. 2 y' -f- a 3 z' — 0 
zukommt. Sowie sich aber die geometrische Bedeutung der Gleichung* 
(2) nicht ändert, wenn man sie mit einer Konstanten p multipliziert, 
so gilt dies auch von der letzten Gleichung, die dann lautet: 
q ai x -)- q a^ y -{- q a 3 z -}- q Xq = 0 ; 
schreibt man für die Zahlen 
9 a j > 9 ^2 y 9 ( h 7 
die der Bedingung unterliegen, daß ihre Quadratsumme q 2 sein muß, 
die Buchstaben . ^ 
A, B, C 
und für qXq den Buchstaben D, und betrachtet man das neue Koor 
dinatensystem als das ursprüngliche, so gelangt man tatsächlich zu 
der Gleichung (1). 
Übt man auf (2) statt der allgemeinen Transformation eine Ro 
tation aus, so geht die Ebene durch den Ursprung des neuen Ko 
ordinatensystems; da in diesem Falle x 0 , also auch I) Null ist, so 
entspricht * , u , rt n 
Ax -f By 4- Gz = 0 (3) 
einer Ebene, die durch den Ursprung geht. 
Auf Grund der in 223 gepflogenen Betrachtungen erkennt man 
weiter, daß eine Gleichung ersten Grades, die nur eine der Koordi 
naten enthält, eine zur Ebene der beiden andern parallele Ebene dar 
stellt, also z. B. die Gleichung