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Analytische Geometrie des Raumes. § 3. Ebene und Gerade. 
Faktor A zu multiplizieren, daß 
A 2 Ä 2 + A 2 B 2 +A 2 C 2 = 1 
sei, damit AA, AB, AC die Kosinus einer Geraden verstellen; die 
positive Richtung dieser Geraden hängt davon ab, für welchen der 
beiden Werte von 
A = 1 = (3) 
6VA 2 + 5 2 + 6’ 2 v j 
man sich entscheidet; hier steht aber die Wahl nicht mehr frei, weil 
AD, das die Bedeutung von — p hat, negativ sein muß; mithin ist 
s = — sgn D (4) 
zu nehmen. Hiernach lautet die Gleichung der obigen Ebene (2) 
in Hessescher Normalform; 
Ax -[- By 4~ Gz -f- D /-n 
— sgn D -\/A*-\-B*-\-C* — ’ ^ 
Beispielsweise kommt der Ebene 2x — 3?/ — 5# + 6 = 0 die 
Hessesche Normalgleichung 
2 x — 3 y — 5 # -(- 6 
zu 
cos a = 
|/38 7 C ° S ^ l/38 7 
cos y 
/ "° 
— ■{/38 
aus der man unmittelbar abliest: 
5 6 
]/38 7 ^ |/38 
234. Abstand eines Punktes von einer Ebene. Die Ebene 
sei durch ihre Hessesche Normalgleichung 
x cos a + y cos ß + z cos y — p = 0, (1) 
der Punkt, M 0 , durch seine Koordinaten x 0 , y 0 , z 0 gegeben. Er kann, 
wenn er nicht in der Ebene liegt, auf der 
positiven oder negativen Seite derselben 
liegen; die Bestimmung des Abstandes soll 
so geregelt werden, daß sich dieser Lagen 
unterschied im Vorzeichen ausdrückt. Dies 
wird in folgender Weise erreicht. 
Projiziert man den Linienzug 0 Q 0 P 0 M 0 , 
Fig. 107, dessen Seiten die relativen Längen 
x 0 , Uo> ■h) besitzen und mit n der Reihe 
nach die Winkel a, ß, y oder deren Supp 
lemente einschließen, je nach der Richtung der Strecken 0 Q 0 , Q 0 P 0 , P 0 M 0 , 
auf n, so hat die Projektion OM unter allen Umständen die relative 
Größe 
OM = x 0 cos a + y 0 cos ß + z 0 cos y, 
und zwar fällt sie positiv oder negativ aus, je nachdem OM die