340 Analytische Geometrie des Raumes. § 3. Ebene und Gerade.
wenn — = — A gesetzt wird: das lieißt aber, daß E* dem Büschel
fij 0 7 7o
der Ebenen E x , E. 2 angehört.
Durch eine Bedingung ist eine Ebene des Büschels bestimmt.
Verlangt man diejenige Ebene, die durch den Punkt M 0 (x 0 /y 0 /z 0 )
geht, so bestimmt sich A aus der Forderung
A 1 x 0 -f- B x y 0 + C x z 0 + B x — A (A. 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D 2 ) = 0,
die Gleichung der betreffenden Ebene kann also in der Form
A x x -f- B x y + G x z + JJ X A 2 x -f- B 2 y -j- C 2 z -f- d) 2
A x x 0 + B x y 0 + G x z 0 + A 2 x 0 A B 2 y 0 + 6' 2 z 0 V D 2
geschrieben werden.
Soll diejenige Ebene des Büschels bestimmt werden, die zu der
Ebene
Ax + By + Gz + D = 0 (5)
senkrecht steht, so hat man die Bedingung für die senkrechte Stellung
der Ebenen (3) und (5) aufzustellen, die da lautet:
{A x - IA 2 )A + {B x - XB 2 )B + (C x - A C s ) 0=0;
bringt man sie in die Gestalt
AA X + BB X + GC X - X(AA 2 + BB 2 + CC 2 ) = 0,
und eliminiert aus ihr und (3) den Parameter, so ergibt sich
A x x -j- B x y -(~ G x z -f- /p A 2 x -{- B 2 y -f- Og z -f-1) 2
AA X + BB X + CG X AA 2 + BB 2 + 00 2
als Gleichung der verlangten Ebene.
239. Teilungsverhältnis im Ebenenbüschel. Die beiden
Grundebenen des Büschels seien in der Hesseschen Normalform gegeben:
H x = x cos a x -f y cos ß x + z cos y x — p x = 0 (1)
H 2 = x cos a 2 + y cos ß. 2 z cos y 2 — p 2 =0: (2)
dann ist
H X =H X
die Gleichung des Büschels.
Die Grundebenen teilen den Raum in vier Wiukelräume, die sich
in zwei Paare einander gegenüber liegender Räume unterscheiden lassen,
wofern keine der Ebenen durch den Ursprung geht: jenes Paar, dem
der Ursprung angehört, heiße der innere, das andere der äußere Winkel
raum. Dem inneren Winkelraum wenden beide Ebenen gleichartige,
dem äußeren ungleichartige Seiten zu.
Ist H x eine bestimmte Ebene des Büschels und M{x/y/z) einer
ihrer Punkte, der nicht zugleich H x und H 2 angehört, so haben die
Ausdrücke H Xf H 2 mit seinen Koordinaten geschrieben die Bedeutung
0 (6)
IH 2 = 0
(3)
