t i 
Logarithmieren. 
21 
bezeichnet (zu lesen: Logarithmus von a inhezug auf &). Das Wesen 
der neuen Operation ist durch den Ansatz 
log . « 
b = « (2) 
gekennzeichnet. ♦ 
Das Eingehen auf diese Frage setzt die Verallgemeinerung des 
Potenzhegriffs auch in bezug auf den Exponenten voraus, der bisher 
eine natürliche Zahl war. Diese Verallgemeinerung, wieder auf dem 
Prinzip der Permanenz ruhend, geht dahin, daß 
6°= 1, 
VbP 
h- y = 
b Y 
(p, q natürliche Zahlen) 
(-/ positive rationale Zahl) 
Gestützt auf die Tatsache, daß. sofern b > 1 gewählt wird, a < ß 
die Beziehung b a < b? zur Folge hat, ferner b Y durch positive und 
negative rationale Exponenten beliebig groß, aber auch beliebig klein 
gemacht werden kann, läßt sich durch einen Gedankengang, der hier 
nicht näher ausgeführt werden soll, zeigen, daß der gestellten Forde 
rung entweder durch eine Rationalzahl oder durch eine Fundamental 
reihe genügt werden kann, kurz, daß die Aufgabe in der beschriebenen 
Einschränkung immer ein und nur ein Resultat ergibt, das dem Gebiet 
der reellen Zahlen angehört, daß sie also über den Begriff dieser 
Zahlen nicht hinausführt. 
§ 2. Imaginäre Zahlen. 
17. Imaginäre und komplexe Zahlen. Das Radizieren als 
erste Umkehrung des Potenzierens ist in 12. mit der ausdrücklichen 
Einschränkung auf positive rationale Radikanden behandelt worden; 
es soll nun seine Erweiterung auf negative rationale x ) Radikanden in 
Angriff genommen werden. 
Ist der Wurzelexponent n eine ungerade Zahl, n = 2p + 1, so 
2p + l 
führt die Aufgabe: ]/—h, worin h eine absolute rationale Zahl be- 
2p+ 1 
deutet, auf die Forderung ]/b zurück, die immer durch eine reelle 
2 p + 1 2p + l 
Zahl erfüllt wird; es ist daun ]/—i» = — "j/. 
Ist der Wurzelexponent n eine gerade Zahl, n = 2p, so stellt 
das Symbol y — b eine durch reelle Zahlen nicht zu befriedigende 
1) Es könnte scheinen, als ob die Fragestellung noch allgemeiner würde 
durch Zulassung aller reellen, also auch der irrationalen Radikanden; aber das 
Radizieren solcher führt auf das Radizieren der Glieder der definierenden Funda 
mentalreihen zurück, also wieder auf rationale Zahlen.