Ax A By + Cz + D = 0 
x = x 0 -\- pu 
V = Vo + 
z = z 0 A ru 
gegeben, so führt die Substitution you 
Ax o -f- -B|/ 0 “b Cz 0 -{-DA (Ap A Bq A Cr)u 
auf eine Gleichung, aus der sich der zum Schnittpunkt gehörige 
Parameterwert bestimmt. Die Bestimmung ist aber nur dann möglich, 
wenn Ap + Bq A Cr =4= 0, und zwar ist dann 
= Axo -)- By 0 A Cz 0 + T) _ 
ÄpA BqACr ’ 
durch Einsetzung dieses Wertes in (2) ergeben sich die Koordinaten 
des Schnittpunktes. 
Ist jedoch 
Ap A Bq A Cr = 0, (5) 
gleichzeitig aber Ax 0 + By 0 + Cz 0 A D A 0, so kann der Gleichung (3) 
nur durch einen unendlichen Wert von u genügt werden, folglich 
ergeben sich dann auch für die Koordinaten des Schnittpunktes un 
endliche Werte. Man sagt, die Gerade habe mit der Ebene einen 
unendlich fernen Punkt gemein und bezeichnet sie als zur Ebene 
parallel. 
Wenn endlich neben (5) auch 
Axo + By Q A Cz 0 + D = 0 (6) 
ist, so wird (3) durch jeden Wert von u befriedigt, alle Punkte der 
Geraden gehören der Ebene an, die Gerade liegt in der Ebene. 
Die Beziehung (5) allein zeigt also den Parallelismus an; (6) für 
sich besagt, daß der Punkt x 0 /y 0 /z 0 der Geraden auch der Ebene 
angehört; beides zusammen hat das Ineinanderliegen zur Folge. 
248. Ebene durch eine G-erade und einen Funkt. Von 
den eben erkannten Bedingungen kann Gebrauch gemacht werden zur 
Lösung der Aufgabe: Die Gleichung der Ebene aufzustellen, welche 
durch die Gerade 
x - x (l = y — yo = z --j 0 
p q r 
und den Punkt M 1 (x t /y x /z t ) geht. 
Sieht man 
Ax + By + Cz A D = 0