Abstand zwischen Punkt und Gerade, 
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Czuber, Höhere Mathematik. 
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die Quadratsumme der linken Seiten ist schon das Quadrat des Ab 
standes d, so daß 
s * = {p 2 + q 2 + r 2 )R 2 - 2 jjpfo - x 0 ) +q{y 1 — y 0 ) + r{e x - z 0 )]R 
+ [0i ~ + Oi - Vof + Oi - *o) 2 L 
und mit Rücksicht auf die Bedeutung von 7?: 
d 2 = {x x — x 0 ) 2 -f {y x - i/ 0 ) 2 + Ol — * 0 ) 2 - O 2 + 2 2 + > ,2 )-R 2 ; (4) 
ersetzt man hierin R durch seinen Ausdruck, so wird schließlich (116) 
iP 8 +g ä +—®o)*+(y i ~ 3/o) 2 +(*i ~ hd 2 J — {(a?i — ® 0 ) + 2(2h — //o)+ »•(«! — * 0 ) 1 2 
P 2 + 2 2 + ^ 2 
■?•(«! — x 0 ) —p{z 1 
z o)} 2 +- [p{Vi — y 0 ) — «(«1 — ®o) 
«(«1 — *o) — '(ft — 2/o)} 2 4- 
Die positive Quadratwurzel hieraus ist d selbst. 
Die Zwischenformel (4) ist wie folgt zu deuten: Da die Summe 
der ersten drei Glieder der rechten Seite das Quadrat von M 0 M X gibt, 
so bedeutet (p 2 + q 2 + r 2 )R 2 das Quadrat des Abstandes des Punktes M 0 
von der Ebene (2), wie auch unmittelbar aus den Ausführungen in 
234 hervorgeht. 
Die rechnerische Durchführung der Formel (5) gestaltet sich ein 
fach; man schreibt die Matrix 
X x - x o Ui ~ % ¿o 
p q r 
an, bildet die Quadratsumme ihrer Determinanten zweiten Grades und 
dividiert sie durch die Quadratsumrae der Elemente der zweiten Zeile. 
Soll also beispielsweise der Abstand des Ursprungs von der Ge 
raden 
x b y — 2 s + 3 
2 = —3 = 4 
bestimmt werden, so heißt die Matrix 
5 - 2 3 
2-34, 
ihre Determinanten sind 1, — 14, —11, folglich ist 
2 _ 1 -f 196 -f 121 318 
~~ 4 + 9"+¿6 _ 20" 
und d = 3, 311... 
251. Zwei Gerade im Raume. Zivei Gerade im Raume haben 
im allgemeinen keinen Punkt miteinander gemein; man sagt dann, sie 
kreuzen sich. Schneiden sich die Geraden in einem eigentlichen oder 
einem unendlich fernen Punkte, so bestimmen sie eine Ebene. Es 
handelt sich um die Feststellung der analytischen Bedingungen für 
diese Sonderfälle und um die Bildung der Ebenengleichung. 
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