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Analytische Geometrie des Raumes. § 4. Krumme Flächen. 
und besitzen die Wurzeln u = — , v — — mit deren Hilfe sieb 
die Koordinaten der Fußpunkte 1 ) berechnen, und zwar 
§ 4. Krumme Flächen. 
253. Erzeugung von Flächen. Das wichtigste Erzeuguugs- 
prinzip von Flächen ist das durch Bewegung von Linien. 
Eine Linie im Raume ist in allgemeiner Form (224) durch zwei 
(Gleichungen zwischen den Koordinaten x, y, z dargestellt. Enthalten 
diese Gleichungen außerdem einen veränderlichen Parameter u, so ist 
durch sie nicht eine, sondern eine einfach unendliche Mannigfaltigkeit 
von Linien bestimmt; anders aufgefaßt: Geht man in dem Gleichungspaar 
Fix, y, z,u) = 0 
G{x, y, z,u) = 0 
(1) 
von einem Werte des Parameters u aus und zu einem andern Werte 
stetig über, so vollführt die durch das Gleichungspaar dargestellte 
Linie eine stetige Bewegung und beschreibt eine Fläche. 
Gleichung der Fläche ist die von den variierenden Werten des u 
unabhängige Beziehung zwischen x, y, z\ sie wird erhalten, indem man 
zwischen den Gleichungen (1) den Parameter u eliminiert, und heiße 
0{x,y,z) = 0. 
(2) 
Die bewegliche Linie (1) bezeichnet man als die Erzeugende der 
Fläche (2). 
Enthalten die Gleichungen der Erzeugenden zwei veränderliche 
Parameter u, v, so daß sie allgemein lauten: 
(3) 
so ist durch sie, so lange nichts weiter bestimmt wird, eine zweifach 
unendliche Mannigfaltigkeit von Linien dargestellt; löst man aber 
daraus nach einem bestimmten Gesetze eine einfach unendliche Mannig 
faltigkeit aus, so führt diese wieder zu einer Fläche; das Gesetz ist 
durch eine Bedingungsgleichung zwischen den Parametern bestimmt 
und heiße 
cp(u, v) = 0 . 
(4) 
Die Elimination von u, v zwischen den Gleichungen (3) und (4) 
führt zur Gleichung der Fläche. 
Geometrisch wird die Auslösung der einfach unendlichen Mannig- 
1) Aus ihnen kann d ebenfalls berechnet werden.