Erzeugung von Flächen. 
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faltigkeit in der Regel dadurch bewerkstelligt, daß man verschreibt, 
die Linien des Systems (3) sollen eine gegebene Linie, die man dann 
Leitlinie nennt, schneiden. 1st die Leitlinie durch das Gleichungspaar 
L x (x, y,z) = 0 | 
L 2 {x, y, ¿0 = 0) 
dargestellt, so heißt dies analytisch so viel: es muß Wertsysteme x, y, Z 
geben, durch welche die vier Gleichungen 
F(x, y, z, u,v) = 0 
G{x, y, z, u, v) = 0 
L x {x,y,z) =0 
L 9 (x,y,0) =0 
gleichzeitig befriedigt werden. Eliminiert man also x, y, z, so erhält 
man eine Gleichung zwischen u, v, und diese ist die der Leitlinie 
adäquate Bedingungsgleichung (4). 
Enthalten die Gleichungen (1) drei Parameter u, v, w, so sind 
zur Aushebung einer einfach unendlichen Mannigfaltigkeit zwei Be- 
dingungsgleichimgen zwischen u, v, w erforderlich; man kommt zu 
ihnen auch durch die geometrische Bedingung, daß die Erzeugende 
zwei Leitlinien zu schneiden habe; denn jede Leitlinie führt zu einer 
Relation zwi sehen den Parametern. 
Indem man diese Betrachtung verallgemeinert, kann man ihr 
Ergebnis in folgendem Satze zusammenfassen: 
Enthalten die Gleichungen der Erzeugenden n veränderliche Para 
meter, so sind n — 1 Bedingungsgleichungen zwischen diesen erforder 
lich, und die Elimination der Parameter aus den Bedingungsgleichungen 
und den Gleichungen der Erzeugenden liefert die Gleichung der Fläche. 
Eine vorgeschriebene Leitlinie führt zu einer Bedingungsgleichung 
zwischen den Parametern, die Bewegung einer von n Parametern ab 
hängigen Erzeugenden ist somit durch n—1 Leitlinien im allgemeinen 
bestimmt. 
Flächen, die sich durch Bewegung einer Geraden erzeugen lassen, 
nennt man Pegel flächen. Da die Gleichungen einer Geraden im Raume 
vier unabhängige Parameter enthalten (246), so bedarf eine gerade 
Erzeugende zur Regelung ihrer Bewegung dreier Leitlinien. 
Ein fester Punkt, durch den die Erzeugende zu gehen hat, führt 
zu zwei Bedingungsgleichungen, ersetzt also zwei Leitlinien; die An 
zahl der Parameter muß in solchem Falle mindestens drei betragen. 
Sind nämlich 
F(x, y, z, u, v, w, • • •) = 0 1 
G{x, y, z, u, v, w, • • •) = 0 j 
(6) 
die Gleichungen der Erzeugenden und x 0 , y 0 , z 0 die Koordinaten des