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Analytische Geometrie des Raumes. § 4. Krumme Flächen. 
zweiter Ordnung 
(18) 
VII Die Zylinder zweiter Ordnung mit zur z-Achse paral 
lelen Seitenlinien sind in den Gleichungen der Linien zweiter Ord 
nung, bezogen auf die xy-Ebene, enthalten, also in den Gleichungen: 
x 2 y 2 = a 2 
x 2 iß 
er + ¥ 
1 
x* _ ß_ 
¥ b 2 
y 2 = 2p x. 
(14) 
VIII. Die Gleichungen (1) bis (14) beziehen sich jeweilen auf 
ein spezielles Koordinatensystem, das den Symmetrieverhältnisseu der 
betreffenden Fläche augepaßt ist und darum zu einer besonders ein 
fachen Gleichungsform führt. Sowie man das Koordinatensystem 
ändert, kompliziert sich die Gleichung, ohne jedoch ihren Grad zu 
ändern. Wie auch das (rechtwinklige oder Parallel-)Koordinatensystem 
angeordnet werden möge, immer ist die Flächengleichung in der 
allgemeinen Gleichung zweiten Grades zwischen x, y, z, nämlich in: 
Äx 2 ß A'y 2 ß A"z 2 -j- 2Byz -f 2B'zx -f- 2B"xy 
+ 2Cx + 2C'y + 2 C"z + F = 0 ^ 
enthalten. Diese Gleichung ist demnach die allgemeine Gleichung der 
Flächen zweiter Ordnung. Da sie zehn Koeffizienten, also neun Kon 
stanten enthält, so ist eine Fläche zweiter Ordnung im allgemeinen 
durch neun Bedingungen, insbesondere durch neun ihrer Punkte, 
bestimmt. 
Auch der Komplex zweier Ebenen, dargestellt durch 
(ax -j- by -f cz + d)(a'x + b'y + c z d') = 0, (16) 
ist in (15) enthalten, weil die Ausführung der Multiplikation zu einem 
Ausdruck zweiten Grades führt; der Komplex zweier Ebenen bildet 
also eine Degenerationsform der Flächen zweiter Ordnung (vgl. hierzu 
203). * 
260. Tangentialebenen. Auf der Fläche 
/0, V, ¿0 = 0 (1) 
liege der Punkt M(x/y/z). In seiner Nachbarschaft werde ein zweiter 
Punkt M {x -f h / y -f- h / z -|- T) angenommen, so daß auch 
fix ßh, y ß h, z -j- l) = 0 
(2)