Flächen zweiter Ordnung. Tangentialebenen. 
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ist. Die Yerbindungsgerade beider Punkte, dargestellt durch (246) 
l — x r¡ — y £ — z 
Tc 
3) 
h k i ’ 
heißt eine Sekante der Fläche. 
Aus den Gleichungen (1) und (2) folgt, daß auch 
/{x + h, y + k, z + l) -fix, y, z) = 0, 
daher auch 
/{x + h, y + k, z + l) —f{x, y -f k, z -f- l) 
+ fix, V + k, z + l) —fix, y, z + 1) 
+ /{x, y, z + l) -fix, y, z) — 0 
ist; für die drei Differenzen, aus denen sich die linke Seite zusammen - 
setzt, kann nach dem Mittelwertsatze (73) der Reihe nach 
Ji/x(x + Oh, y + k, z + l) 
kfy(x, y + 0 i k, z+l) 
lfz(x, y, z + 0,1) 
geschrieben werden, wobei 0. 0 t , 6 2 positive echte Brüche bedeuten; es 
ist also auch 
fxix + Oh, y + k, z + l) + /fx, y + Oft, z -f l)jr + 
l ( 4 ) 
+ /z(x, y, Z + 0,1)^= 0. 
Nähert man den Punkt M' dem festgehaltenen Punkte M längs 
k 
der Fläche unbegrenzt derart, daß - - gegen die Grenze f konvergiert, 
so wird auch \ im allgemeinen einer Grenze u und die Sekante einer 
h ° 
Grenzlage sich nähern, die durch 
—x = n—y 
1 t 
i- 
u 
(5) 
dargestellt ist und als eine Tangente der Fläche im Punkte M be 
zeichnet wird. 
Zwischen dem beliebig festzusetzenden t und dem u besteht aber, 
sofern die partiellen Ableitungen f x , f y , f z stetige Funktionen ihrer 
Argumente sind, vermöge (4) die Beziehung: 
fx +/ft+f-u = 0. (6) 
Ohne Rücksicht auf die spezielle Wahl von t herrscht also 
zwischen |, y, £, d. i. zwischen den Koordinaten der Punkte aller 
Tangenten in M die aus (5) und (6) resultierende Gleichung 
(I - x)/x + {r t - y)fj + (£ — z)f = 0, (7) 
die eine durch M gehende Ebene darstellt.