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Der ZaHlbegriff. § 2. Imaginäre Zahlen. 
ist; wendet man links die Formel (15) und hierauf die Definition 18, 2. 
an, so ergeben sich zur Bestimmung von q, a die Gleichungen: 
q u cos na — r cos Cp 
Q n sin n a — r sin cp; 
sie liefern p 2n = r 2 , somit Q n = r und q — \ yV ], worunter die einzige 
positive Zahl zu verstehen ist, die zur n-ten Potenz erhoben r gibt, 
die „arithmetische“ n-te Wurzel aus r; ferner 
na — cp + 2JvTt, 
worin k jede ganze Zahl, mit Einschluß der 0, bedeuten kann. Hier 
nach ergibt sich das anscheinend unbegrenzt vieldeutige Resultat: 
«/— 
y r 
yr (cos (p 4- i sin cp) 
qp 4-2&7t , . . qp —2 A' TT 1 
COS b % sm — i 
n n ) 
Wenn man aber k nach und nach die Werte 0, 1, 2, ... n — 1 er 
teilt, so ergeben sich alle Werte, deren die rechte Seite fähig ist; 
jede andere Substitution führt nur zu einer Wiederholung. Bezeichnet 
man nämlich eine Zahl der obigen Reihe mit v, so läßt sich jede 
Zahl k außerhalb dieser Reihe in der Form ln + v darstelleu, wobei 
l eine ganze Zahl mit Ausschluß der 0 bedeutet; es ist aber 
qp 2 (ln 4- v) n qp-j-S^Jf 07 
* = -\-4i7C, 
n n 7 
und da 2ht auf den Wert von cos und sin ohne Einfluß ist, so gibt 
tatsächlich die Substitution k = ln + v dasselbe Resultat wie die 
Substitution k = v. Daß endlich die aus den Substitutionen k — 0, 
1, ... n— 1 hervorgehenden Werte untereinander verschieden sind, 
folgt daraus, daß die zugehörigen Werte von verschieden und 
. n . . . ■ i 
sämtlich in dem Intervall (0,27t) enthalten sind, innerhalb dessen es 
keine zwei Winkel gibt, die in Kosinus und Sinus übereinstimmen. 
Es ist somit endgiltio- 
y r (cos cp + i sin cp) = \y~r \ | cos 
(k = 0, 1, 2, . . 
qp —2 Z; 3T , . . qp —2 k% 
L % g ln Z—! 
n n 
(17) 
n — 1). 
Hierin spricht sich der Satz aus, daß die n-te Wurzel aus jeder 
Zahl n von einander verschiedene Werte besitzt, wenn man reelle und 
komplexe Lösungen als gleichberechtigt ansieht. < 
Nunmehr kann gezeigt werden, daß die Moivresche Binomial- 
formel auch für gebrochene Exponenten gilt. 
Im Hinblick auf die Multiplikationsregel (13) ist der zweite 
Faktor der rechten Seite von (17) das Produkt aus 
2k 9 7t . . . 2 Je, n 
COS " 4- i Sin —— 
n n