Konvergenz und Divergenz. 
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konvergent 1 ) und bezeichnet die durch (s n ) definierte Zahl 5: 
lim s n = s (3) 
71 = CO 
als Wert oder Summe oder als Grenze dieser Reihe. 
Nach den Ausführungen des vorigen Artikels lautet die allgemeine 
Bedingung für die Konvergenz von (2) dahin, daß sich bei beliebig- 
klein gegebenem positiven e eine natürliche Zahl m angeben lassen 
müsse derart, daß 
( 4 ) 
oder ausgeschrieben: 
I a n +1 + a n + 2 + * * * + °n + p \ < ( 4 *) 
so lange n > m, in Worten: Soll eine Heike konvergent sein, so muß 
sich eine Stelle bestimmen lassen, von welcher ab jede beliebig umfang 
reiche Gliedergruppe eine beliebig kleine Summe gibt 2 ). 
Wendet man die allgemeine Bedingung auf den Fall p = 1 an, 
so besagt sie, daß die Glieder einer Reihe, soll sie konvergent sein, 
mit wachsendem Zeiger dem absoluten Betrage nach notwendig be 
liebig klein werden müssen, daß also, symbolisch ausgedrückt, 
lim a n - 0 (5) 
71 — GO 
bestehen müsse. Es wird sich jedoch zeigen, daß dieses Verhalten 
zur Konvergenz nicht hinreicht. Bei allen Reihen, die wir weiterhin 
betrachten, wird die Bedingung (5) als erfüllt vorausgesetzt. 
Die Reihe (2) heißt divergent 3 ), wenn die Zahlenfolge (s n ) eigent 
lich oder uneigentlich divergent ist. Im Falle der eigentlichen Diver 
genz von (s OT ) sagt man auch, die Reihe habe eine unendliche Summe. 
Eine konvergente lieihe definiert eine bestimmte Zahl. 
Die in (1) zusammengestellten Summen nennt man Partialsummen 
von J£a n . 
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27. Folgerungen. 1. Die Ergänzung der Partialsumme s n zur 
unendlichen Reihe, d. i. 
r n == a n + l+ a n + 2 + • • • •; (6) 
nennt man den zu s n gehörigen Best. Auch er bildet eine unendliche 
1) Das Wort „Konvergenz“ kommt, auf Umfänge von Sehnen- und Tan 
gentenpolygonen mit wachsender Seitenauzahl angewendet, zum erstenmal bei 
dem englischen Mathematiker J. Gregory (1667) vor und hat sich seither in 
der ganzen Mathematik eingebürgert. 
2) Diese allgemeine Bedingung der Konvergenz hat zuerst B. Bolzano 
(1817) angegeben; doch ist sie erst durch Cauchys Schriften weiter bekannt 
geworden, dem auch meist die Priorität zugesprocheu wird. 
3) Dieses Wort in seiner Anwendung auf Reihen, aber wahrscheinlich noch 
nicht in dem heutigen Sinne gemeint, kommt zum erstenmal bei Nik. I. Ber- 
noulli (1713) vor. 
Czuber, Höhere Mathematik. 
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