36 Unendliche Reihen und Produkte. § 1. Grundlegende Begriffe. 
3. Aus der Zahlenfolge (1, q, q 1 2 , q 3 , • • •) entsteht auf dem be 
schriebenen Wege 
(1 - q) + (1 — 2)2 + (1 “ 2)2 2 + • • • 5 
nun ist die Zahlenfolge konvergent und 0 ihre Grenze, wenn j q | < 1*), 
so daß für diesen Fall 
1 = (1 - 2) + (1 — 2)2 + (1 — 2)2 2 + • • •> 
also 
0 
Wenn hingegen q > 1, so ist die Zahlenfolge eigentlich diver- 
CO 
gent 1 ) und mit ihr gleichzeitig die Reihe ^q n - 
0 
GO 
Bei q = 1 geht J£q n in die Reihe 1 + 1 + 1 + • • • über, die 
0 
eigentlich divergent ist. 
Bei q = — 1 wird aus ^>q n die Reihe 1 — 1 + 1 — Id , deren 
0 
Partialsummen abwechselnd 1 und 0 sind; die Reihe divergiert un 
eigentlich, man sagt, sie oszilliere zwischen 1 und 0. 3 ) 
Als Ergebnis dieser Untersuchung kann man den Satz formu- 
00 
lieren, daß die geometrische Reihe 2t nur dann konvergent ist, ivenn 
0 
q <1, daß sie also in den Fällen q >1 divergiert ; im ersten Falle ist 
ihre Grenze. 
1 — q 
II. Eine der ersten Reihen, bei denen erkannt wurde, daß auch 
bei Abnahme der Glieder gegen 0 — was lange Zeit hindurch als zur 
1) Die Richtigkeit der beiden Behauptungen ergibt sich aus folgender Er 
wägung. Ist 6 eine positive Zahl, so ist 1 + 6)>1, ^ <[ 1. Nun ist 
(1 + 6) 2 > 1 + 26, (1 + 6) 3 > 1 + 36, • • • 
allgemein für jedes natürliche n 
(1 + 6f > 1 + nd\ (—< j T- 
+ w6 ’ 
/ 1 \ n 
daraus schließt man auf lim (1 + 6)” = oo und lim ( ) =0. 
71= CO 71 = CO 1 & ' 
Somit ist tatsächlich lim | q |” = 00 oder = 0, jenachdem | q | > 1 oder | q | <+ 1. 
71 = GO 
2) Die Summenformel für die fallende geometrische Reihe ist schon 1593 
von F. Yieta gefunden worden. 
3) Ein Beweis für die naive Auffassung, der die unendlichen Reihen an 
fänglich begegneten, ist darin zu erblicken, daß G. Grandi 1703 für diese Reihe 
in unbedenklicher Anwendung der Formel (10) die Summe * angab und daß 
über die Möglichkeit dieses Resultates ein ernster Streit geführt wurde.