38 Unendliche Reihen und Produkte. § 2. Reihen mit positiven Gliedern. 
§ 2. Reihen mit positiven Gliedern. 
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29. Allgemeines. 1. Ist eine Reihe mit durchweg posi- 
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tiven Gliedern, so bilden ihre Partialsummeu s 1} s 2 , s 3 , • • • eine mo 
noton zunehmende Zahlenfolge; eine solche hat entweder eine bestimmte 
Grenze oder die Grenze oo; ein drittes ist ausgeschlossen (25). 
Demnach ist eine Reihe aus lauter positiven Gliedern entweder kon 
vergent, oder divergent mit der Grenze oo. 
Die Konvergenz ist erwiesen, wenn sich zeigen läßt, daß die Par 
tialsummen unter einer festen Zahl bleiben. 
OO 
Ist s die Grenze der Reihe ^>a n , falls sie konvergent ist, so 
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bleibt die Summe jeder beschränkten oder unbeschränkten Auswahl 
von Gliedern unter s. 
2. Nimmt man an einer konvergenten Reihe aus positiven Gliedern 
eine durchgehende Umordnung vor, so hleibt die Konvergenz erhalten und 
die Grenze unverändert. 
Die Umordnung von 
% + % + ö 3 + • ' * (1) 
in 
% + a a 2 + a«3 + ■ • • ( 2 ) 
ist eine durchgehende, wenn die umgeordnete natürliche Zahlenreihe 
cc ly cc 2 , «3, • ■ • von keiner noch so späten Stelle an mit der geord 
neten 1, 2, 3, • • • übereinstimmt. Bezöge sich die Umordnung nur auf 
ein endliches Stück der Reihe, so bedürfte der Satz keines Beweises. 
Daß (2) konvergent ist, folgt daraus, daß jede ihrer Partial 
summen unter s, der Grenze von (1), liegt. 
Man kann des weitern in (2) mit der Partialsummenbildung so 
weit gehen, bis man die ersten n Glieder von (1) umfaßt hat; heißt 
die so gebildete Partialsumme s„ , so stammen ihre übrigen Glieder 
aus dem Rest r n zu s n = a x -f a 2 + • • • -f- a n , so daß 
< r H ; 
mit unbeschränkt wachsendem n wächst auch a v über alle Schranken, 
r n dagegen konvergiert gegen Null; somit ist tatsächlich 
lim s Uf = lim s n = s. 
3. Wenn man in einer konvergenten Reihe aus positiven Gliedern 
durchgehend Gruppen sukzessiver Glieder bildet, so ist die aus deren 
Summen gebildete Reihe wieder konvergent und hat dieselbe Grenze. 
Man braucht, um dies einzusehen, nur zu beachten, daß die Par 
tialsummen der Reihe 
(»i + «a + •••+«*) + + 1 + ■•• + »*) + ( Ä * +1 +*••) + ■' *