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Spezielle Konvergenzkriterien. 
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unter den Partialsummen von 
a i 4" “H a z "t~ * • * 
verkommen, daher gegen dieselbe Grenze konvergieren wie diese. 
Durch die beiden letzten Eigenschaften, die dem kommutativen 
und dem assoziativen Gesetz der Addition entsprechen, ist der Summen- 
charakter der konvergenten Reihen aus positiven Gliedern dargetan*, 
die Grenze einer solchen Reihe darf daher auch als ihre Summe be 
zeichnet werden. 
30. Konvergenzkriterien. 1. Wenn die durchweg positiven 
Glieder der Reihe IX kleiner sind oder höchstens gleichkommen den 
korrespondierenden Gliedern einer als konvergent bekannten Reihe I]a M , 
so ist auch konvergent. 
Wegen der Konvergenz von ]£a n kann 
a n + i + a n + 2 + • * * + a n + p 
durch Wahl von n allein unter die beliebig kleine Größe e herab 
gedrückt werden; das gilt aber auch von 
K +1 + + 2 + ‘ ‘ • + &n + p> 
das nach Voraussetzung nicht größer sein kann als die vorige Summe; 
damit ist aber die Konvergenz von I]h n erwiesen. 
Sollte die Beziehung h n <1 a n erst von einem Zeigerwert m an- 
m — 1 m — 1 
gefangen bestehen, so trenne man die Reihenanfänge ^a.„, ^>b„ ab 
i i 
und betrachte die gekürzten Reihen, auf welche die obigen Schlüsse 
Anwendung finden. 
Aus dem Satze ergibt sich die Folgerung: Sind die Glieder von 
größer oder mindestens gleich den korrespondierenden Gliedern einer 
als divergent bekannten Reihe V] a n , so ist auch V] b n divergent. 
Denn, aus der Annahme, se ^ konvergent, folgte mit Not 
wendigkeit die Konvergenz von wa9 gegen die Voraussetzung ist. 
Als Beispiel diene die Reihe 
1 + 2* + 3 ä + + • • •; 
ihre Glieder sind, vom zweiten angefangen, kleiner als die Glieder 
der konvergenten Reihe (28, 8.) 
i . J_ . . JL. . 
A_r l-2~ r 2-3 _r 3-4' ’ 
daher ist sie selbst auch konvergent und ihre Summe < 2. 
Die Glieder der Reihe