Spezielle Konvergenzkriterien. 
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mithin sind die Glieder der Reihe ^a n von n = m + 1 angefangen 
kleiner als die mit a m multiplizierten Glieder der geometrischen Reihe 
da diese wegen g< 1 konvergiert, so konvergiert auch V]a w . 
i 
In dem Falle A>1 wähle man q derart, daß A>g> 1; soll 
—- die über q liegende Grenze A haben, so muß es von einem Zeiger 
a n 
m an gefangen beständig über q bleiben, also 
*m +1 
a. 
Vt + 3 
l m + 2 
> ft 
/fl ^ w 
>«’ VT7 >4 ’ 
TU *T~ 1 
sein; daraus folgt weiter 
a« + l > «mft «m + 2 > a nä 2 , a m+ 3 > «».3^ 
Da also nunmehr die Glieder von von n = m -f- 1 angefangen, 
die mit a m multiplizierten Glieder der geometrischen Reihe ^¡q n über- 
i 
treffen, diese aber wegen q > 1 divergiert, so divergiert auch ^¡a n . 
a 4_ h 
Der Fall, daß —die Zahl 1 selbst zur Grenze hat, bleibt also 
' a n 
unentschieden. 
Als erstes Beispiel diene die mittels der positiven Zahl a ge 
bildete Reihe 
= 1 -f — + -4--^4 • 
X, n! 1 1! ^ 2! ^ 3! ^ ’ 
in ihr ist 
öL = 
öl ,, = 
k” + 1 
(n -f- 1)!’ 
*n + 1 
a 
n\' ” +1 (ti -(— 1) 1 ^ a n n-f-1’ 
dieser Quotient läßt sich bei jedem a durch Wahl von n beliebig klein 
machen; es ist daher lim n = 0 < 1, die Reihe also bei jedem a 
konvergent. 
Die Reihe 
"STi «" _ a , a 2 ß 3 
¿Li ~n~ 1 2 8 + 
zeigt ein wesentlich anderes Verhalten; in ihr ist 
ß” + 1 a 
a n+1 = 
ÖL 
ra +1 
TT 
n 4-1 5 
und da dieser Quotient u zur Grenze hat, so ist die Reihe nur dann 
konvergent, wenn u <C 1 ist; bei a > 1 divergiert sie, aber auch schon 
bei a = 1, wo sie zur harmonischen Reihe wird.