42 Unendliche Reihen und Produkte. § 2. Reihen mit positiven Gliedern. 
Keine Entscheidung ermöglicht das Kriterium bei der Reihe 
2 -V Cp > 0), da hier 
1 Vf a n 
p 
n 
die Grenze 1 hat. An anderer 
+1 
Stelle ist aber bereits erkannt worden, daß diese Reihe bei p 1 
divergiert, bei p — 2 konvergent ist. 
4. Die beiden Heiken Sa„ und ^¡2 v a* v sind unter der Voraus- 
o 
i 
Setzung, daß die Glieder der ersten niemals zunehmen, gleichzeitig kon 
vergent, hzw. divergent. 
Aus der Tatsache, daß a x > a 2 > a 3 > • • ■ (statt > kann, jedoch 
nicht durchwegs, auch = eintreten), folgen einerseits die Relationen: 
CI— cc^ 
2a 2 > a 2 -f a s 
4 a 4 > + a 5 + a 6 ’+ 
2 m a^m O^m <^2 m 4-l “H ‘ * T" 
aus denen sich durch Addition 
m +1 
m 2—1 
(A) 
0 
ergibt; andererseits die Relationen: 
i 
% < 2 a x 
2a 2 = 2a 2 
4a 4 < 2(a 3 + a 4 ) 
2 m a 2 m <C w _ 1 + « + * • * H - u 2 w) 
2 i+l z +2 
die, indem man sie addiert, zu der Ungleichung 
(B) 
o 
fuhren. Auf den beiden Seiten von (A) und (B) stehen nun Partial 
summen der beiden zu vergleichenden Reihen. 
Ist 2a n konvergent, so folgt aus (ß) die Konvergenz von y]2’'ft 2 v; 
und ist '£2 v a 2 v konvergent, so schließt man aus (A) auf die Konver 
genz von 
Ist divergent, so begründet (A) die Divergenz von ^2 v a 2 yj 
und ist 22’’fl 2 v divergent, so ist es wegen (B) auch 2Sa n .