Unbedingte und bedingte Konvergenz. 
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Glieder ab und kann durch Regelung dieser Anordnung jeder beliebigen 
Zahl gleich gemacht werden. 
Um der Reihe ^j,a n die (z. B. positive) Grenze G zu geben, nehm e 
man von (1) eine solche Gliedergruppe 
% + a a 2 H + a a^ = S ‘* 7 
daß ihre Summe G übertrifft, daß dies aber schon nicht der Fall ist, 
wenn man das letzte Glied der Gruppe fortläßt, so daß 
Sq; G < U a , | 
hieran schließe man eine solche Gruppe aus (2), 
a ß x \ J r\ a fo\ J r • • • + 1 aß v ,! , 
daß s' a —sj unter G sinkt, daß dies aber nicht mehr zutrifft, wenn 
man das letzte Glied fortläßt, so daß 
G (s 0 . Sp) ^ ; a^ j; 
nun gehe man in der Reihe (1) wieder weiter um 
+ l + a ce fl ' + 2 + • • • + a a = 
derart, daß G gerade noch überschritten wird, so daß 
s a sp d - s a G a„ u „, 
und schließe daran so viel von (2): 
a ß v ' + i I + 1 a /V+ 2 H H a ß v " =:S ^ 
daß gerade noch 
G (s a Sß $a Spj ; Q'ßy" 
u. s. f. Auf diese Weise fortfahrend kommt man G beliebig nahe, da 
a V'l a /v!> a v;\ ^Ar 
en* gegen Null konvergierende Zahlenfolge bilden (26). 
Die Partialsummen s a , s a — sj, s a — sj -f- sj, s a — sj -f- s'j — sj, ■ • • 
oszillieren um G. 
Da man G beliebig groß, d. h. größer als jede noch so große 
Zahl festsetzen kann, so können aus durch GliederumOrdnung 
auch divergente Reihen erzeugt werden. 
Während also die Konvergenz einer absolut konvergenten Reihe 
eine unbedingte, von der Anordnung der Glieder unabhängige ist, wird 
die Konvergenz einer nichtabsolut konvergenten Reihe durch die An 
ordnung der Glieder bedingt derart, daß mit der Anordnung die Grenze 
sich ändert und unter Umständen unendlich wird. 1 ) 
1) Bei einigen speziellen nichtabsolut konvergenten Reihen hatten schon 
A. Cauchy (1823) und Gl. Lejeune-Dirichlet (1837) das eigentümliche Ver 
halten erkannt; den obigen allgemeinen Satz hat aber erst B. Riemann auf- 
gestellt und bewiesen (1867).