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Alternierende Reihen. 
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Zugleich geht aus der Betrachtung hervor, daß 
S 2n < S ^ S 2» + l 
für jedes n\ da ferner allgemein 
*■«•“(— !) re K + i-(fln + *~ a n + s) ’)» 
so ist j r n S = ; s — s n | < 1 a n+ i |, d. h. nimmt man statt s eine Partial 
summe s n , so ist der begangene Fehler dem Betrage nach kleiner als 
das dem letztbehaltenen folgende Glied. 
34. Beispiele. Die Ergebnisse der Untersuchungen der beiden 
letzten Artikel mögen nun an einigen Beispielen erläutert werden. 
1. Die alternierende Reihe 
ist unbedingt konvergent, weil die Reihe der absoluten Gliederwerte 
konvergent ist (30, 4.). 
2. Die alternierende Reihe 
1 — — 4- 1 
ist nach dem Kriterium 33 konvergent, aber nur vermöge der Glieder 
anordnung, weil die Reihe aus den absoluten Gliederwerten divergiert. 
Ordnet man die Glieder nach irgend einem Prinzip um, so ist 
die Konvergenz schon fraglich, und besteht sie noch, so ist die Grenze 
eine andere. 
Es soll dies für die folgende Anordnung gezeigt werden: 
1 + - 1 - — — + 1 + — — 1 4 . 
~3 2 ' 5 T 7 4 
Die Partialsumme von 4w Gliedern der ersten Anordnung ist 
— 4- — 
6 ' 7 
t) + 
+ ( 
1 
4 n — 3 
_i_ + _J_ _ LA . 
4 n — 2 4 n — 1 4 n}' 1 
die Partialsumme von 3 n Gliedern der zweiten Anordnung 
1 
(l + y ~ y) + (5 + T ~ t) + 
mithin ist 
S3 
+ i—— 
' \4n- 
3 4 n 
i-V 
2 n) 7 
d. i. 
f 3« - «4n= (y - t) + (e ” t) + 
= — (l——4- — - 
2 V 2^3 
+ ••• + 
4_ (— 1 LA 
' \4«— 2 4tnJ 
2n) 7 
2 n— 1 
SZn = S in ~\- 
a 2n5