48 Unendliche Reihen usw. § 3. Reihen mit positiven und negativen Gliedern. 
nun hat s 2n ebenso wie s 4n die Grenze s der Reihe in der ersten An 
ordnung; folglich hat s' 3n die Grenze '1 s, und dies ist die Grenze der 
Reihe in der zweiten Anordnung. Durch die ümordnung, die die 
positiven Glieder voraneilen macht, hat sich also die Grenze um die 
Hälfte ihres ursprünglichen Betrages erhöht. 
3. Die Reihe 
l 
erfüllt bei jedem p > 0 die Konvergenzbedingung des vorigen Artikels; 
absolut und daher unbedingt konvergent ist sie nur bei p >• 1, da 
gegen bei p < 1 nur bedingt konvergent, weil dann — divergiert 
(30, 4). 
Diesen letzten Fall im Auge behaltend werde die Reihe um 
geordnet in 
1-1—— _L _i_ _L J: Lj 
3 P 2 P & 1 p 4 P 
Die Partialsumme s 2n der ersten Anordnung und die Partialsumme s 37 
der zweiten Anordnung umfassen folgende Glieder: 
*2 n 
= 1 - 
— + 1 
2 P 3 P 
4 p 
, 1,1 1 
3? -0+" 
+ ••• + 
+ 
(2n — l) p 
1 
(2 n) p 
+ 
(4n — 3) p (4n —1) 
(2 n) 
P ’ 
in den negativen Gliedern stimmen sie überein, in den positiven geht 
die zweite um die Glieder von bis , deren Anzahl n 
ist, weiter; folglich ist 
s 3 n So 
+ 
(2 n + l) p 
1 
(4m- l) 2 
+ ••• + 
(2»+!)* ' (2w + 3) y ‘ ‘ (4«—l/’ 
verkleinert man die rechte Seite dadurch, daß man alle Glieder einzeln 
durch 
(4 n) 1 
ersetzt, so ergibt sich, daß 
s 3n S 2 „ i> 
d ~P 
(4 n) p 4 p 
wegen 0 < p < 1 wächst aber n x ~ p mit n über jede noch so große 
Zahl hinaus, und da s 2n eine bestimmte Grenze hat, so wird s' 3n not 
wendig über jedes Maß groß. Die umgeordnete Reihe ist also divergent. 
§ 4. Unendliche Produkte. 
35. Begriff der Konvergenz und Divergenz. Wie die 
Addition, so kann auch die Multiplikation wegen ihres kommutativen 
Charakters auf beliebig viele, also auch auf unbeschränkt viele Zahlen