Allgemeine Konvergenzbedingungen unendlicher Produkte. 
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angewendet werden. Einem solchen unendlichen Produkt 1 ) gegenüber 
entsteht wieder die Frage, wann es eine bestimmte Zahl darstellt. 
Aus der unbegrenzt fortsetzbaren Folge positiver Zahlen a lf « 2 , 
a 3 , • • • werde nach der Vorschrift 
Pi = «i 
P-2 = c hPi 
Ps = a 3 Ih C 1 ) 
Pn= a nPn-l = a i a 2 ••• a n 
eine neue Folge p 1} p 2 , p 3 , • • •, kurz (jp TO ), gebildet. 
Ist diese neue Folge konvergent, ohne jedoch eine Elementar 
reihe zu sein, so daß also ihre Grenze eine von Null verschiedene Zahl p 
ist, so bezeichnet man das unendliche Produkt 
GO 
a i i* 2 «3 • • ■, kurz 77«., (2) 
i 
ebenfalls als konvergent und p = lim^ Ä als seine Grenze, seinen Wert. 
71 = CG 
In jedem andern Fall heißt das Produkt divergent. 
Wenn vorausgesetzt wurde, daß alle Faktoren positiv seien, so 
hat dies in folgender Erwägung seinen Grund. Negative Faktoren 
dürften nur in beschränkter Anzahl vorhanden sein, weil nur dann 
das Produkt ein bestimmtes Vorzeichen erhält; hat man dieses einmal 
bestimmt, so kommt es nur mehr auf den absoluten Wert des Pro 
duktes an. 
Es kann auf den ersten Blick befremden, daß man die Grenze 
Null bei der Konvergenz ausschließt und Produkte mit dieser Grenze 
zu den divergenten zählt. Hält man daran fest, daß keiner der 
Faktoren a n Null sein soll, so weist ein gegen Null konvergierendes 
Produkt die Anomalie auf, den Wert Null zu haben, ohne daß einer 
der Faktoren Null ist. Dies der Grund, warum solche Produkte zu 
den divergenten gezählt werden. 
Die allgemeine Bedingung für die Konvergenz des Produktes // a n 
ist identisch mit der Bedingung für die Konvergenz der Zahlenfolge (p n ), 
(25), mit dem Zusatze, daß p n nicht beliebig klein werden darf; sie 
läßt sich also durch die Ansätze ausdrücken: 
Pn + r-Pr, < £ > Pn> 9'i (3) 
die erste Ungleichung muß bei gegebenem s für ein hinreichend 
großes n bei jedem r stattfinden; in der zweiten bedeutet g eine 
1) Unendliche Produkte sind fast gleichzeitig mit den unendlichen Reihen 
in der Literatur aufgetreten; das erste unendliche Produkt findet sich (1593) 
bei P. Yieta. 
Czuber, Höhere Mathematik. 
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