Funktionen einer Variablen. 
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von x, und insbesondere eine Funktion der reellen Variablen x, wenn 
man dieser nur reelle Werte anzunebmen gestattet; weiters eine reelle 
Funktion dieser Variablen, wenn sie nur reelle Werte annimmt, oder 
wenn man nur solche zuläßt; ferner eine eindeutige Funktion, wenn 
nur eindeutige Operationen in dem Ausdruck vertreten sind oder im 
andern Falle eine solche Festsetzung getroffen ist, daß zu jedem (oder 
jedem zulässigen) Werte von x nur ein Wert von y gehört. 
Den Inbegriff der Werte, welche der Variablen x anzunebmen 
gestattet sind, nennt man ihren Bereich oder ihr Gebiet. Sind es alle 
reellen Werte von a angefangen bis zu dem größeren b, so nennt 
man x stetig variabel in dem abgeschlossenen Intervall (a, b), in Zeichen: 
a < x < &; bei Ausschluß der Werte o, b schreibt man a < # < & und 
nennt das Intervall ein nicht abgeschlossenes. Gibt es für x einen 
kleinsten Wert a, aber keinen größten, so deutet man das Intervall 
durch (a, oo) an; gibt es einen größten Wert b, aber keinen (alge 
braisch) kleinsten, so schreibt man das Intervall (— oo, &); gibt es 
weder einen größten, noch einen kleinsten Wert, so nennt man x 
unbeschränkt variabel und notiert das Intervall mit (— oo, oo). 
Ist x nicht aller, sondern nur bestimmt qualifizierter Werte 
fähig, so heißt es eine unstetige Variable. Durch die Aussage, n be 
deute eine ganze Zahl, ist n als unstetige Variable definiert, deren 
Bereich die Reihe der positiven und negativen ganzen Zahlen ist; 
ebenso ist x eine unstetige Variable, wenn vorgeschrieben ist, daß es 
etwa nur alle rationalen oder alle irrationalen Zahlen innerhalb ge 
wisser Grenzen oder ohne weitere Beschränkung als Wert annehmen 
dürfe. 
Die folgenden Beispiele werden zur Klärung und Festigung der 
vorstehenden Begriffe beitragen. 
1. y = 3# 2 — 2x + 1 ist eine von Natur aus eindeutige reelle 
Funktion der reellen Variablen x in dem Bereich (— oo, oo). 
2. y = ]/T — x 2 ist mit der Festsetzung, daß der positive Wert 
der Wurzel zu nehmen sei, eine eindeutige Funktion, eine reelle nur 
dann, wenn man die Variable x auf das abgeschlossene Intervall (— 1,1) 
beschränkt; außerhalb desselben wird y imaginär. 
3. y — 1 ist bei derselben Festsetzung eine eindeutige Funk- 
y 1 — F- 
tion; aber die Variable muß hier auf das nicht abgeschlossene Inter 
vall — 1 < x < 1 beschränkt werden, weil 0 als Divisor nicht zu 
lässig ist. 
4. V ist bei Beschränkung auf positive Werte der Wurzel 
eindeutige reelle Funktion in dem Intervall 0 < x < oo. 
5. y — 1 ist bei der gleichen Beschränkung eine ebensolche 
yx 
Funktion, aber nur in dem Bereich 0 < x < oo.