Diriclilets Funktionsbegriff. 
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Funktion zu tun, die außerhalb des Intervalls (— 1,1) nicht existiert;, 
Fig- 8. 
2. Unter sgn x (lies „signum x“) soll jene Funktion verstanden 
werden, die für jedes negative x 1 ) den Wert — 1, für jedes positive 
x den Wert 1, für x = 0 den Wert 0 hat, so daß also 
sgn x = 
Y 
1 für — <x> < x < 0 
0 „ x = 0 
1 „ 0 < x < oc. 
Y 
0 
-1 
Fig. 9. 
Ihr Bild, Fig. 9, besteht aus zwei zu X'X parallelen Geraden, 
die beliebig nahe, aber nicht bis an YY' herantreten, und aus dem 
Punkte 0. 
Die Funktion gestattet eine analytische Darstellung, sobald man 
den Grenzbegriff in einer Funktionserklärung zuläßt; so ist z. B. 
i » nx 
sgn X = Lun , 
n = oo p 1 -1~ " 
wenn die Wurzel mit ihrem absoluten Wert genommen wird; in der 
Tat, mit beständig wachsendem n nähert sich der Nenner der Zahl 
nx |, der Bruch also der Zahl — 1 oder 1, je nachdem der Wert von 
x negativ oder positiv ist; für x = 0 wird aber der Ausdruck 0. 
3. In dem unbeschränkten Gebiet der reellen Zahlen sei f{x) der 
art festgesetzt, daß es für jeden rationalen Wert von x Null und für 
jeden irrationalen Wert 1 sein soll. Von dieser Funktion läßt sich 
ein völlig zutreffendes anschauliches Bild nicht geben, weil sich nicht 
überblicken läßt, zu welchen Punkten einer Geraden nach Annahme 
des Nullpunktes und der Einheitsstrecke rationale, zu welchen irratio 
nale Zahlen gehören; das augenfällige Bild besteht aus der Achse X'X 
und aus einer zu ihr parallelen Geraden im Abstande 1. Hingegen 
läßt sich die Funktion trotz ihrer komplizierten Natur bei Zuziehung 
des Grenzbegriffs analytisch darstellen, so beispielsweise durch 
f (x) = lim sgn (sin 2 £! ##); 
k = oo 
denn, ist x rational, so wird li\ in seinem Wachstum schließlich immer 
so groß werden, daß k\x eine ganze Zahl, klnx also ein Vielfaches 
1) Abgekürzte Ausdrucksweise für „jeden negativen Wert von ¿c“.