66 Der Funktionsbegriff. § 1. Funktionen einer und mehrerer Variablen. 
Setzt man bei der Funktion ~\/x — Yx die Quadratwurzeln als 
positiv fest, so ist sie eindeutig und bestimmt in dem Intervall 
1 < x < oo. 
Bei dem Ausdruck 
reicht die Forderung der Realität 
allein aus, um ihn als einwertige Funktion erscheinen zu lassen, die 
für alle Werte von x mit Ausschluß von — a und a bestimmt ist. 
Eine zweite Definition der algebraischen Funktionen greift über 
das Gebiet der elementaren Funktionen hinaus. Ihr zufolge wird y 
als algebraische Funktion von x erklärt, wenn zugeordnete Werte bei 
der Variablen einer algebraischen Gleichung genügen. Die typische 
Form einer solchen Gleichung besteht darin, daß eine Summe von 
Gliedern der Form o li v x u y'\ worin g, v natürliche und a v reelle 
Zahlen bedeuten, der Null gleichgesetzt ist. Die größte Zahl y be 
deutet den Grad der Gleichung in Bezug auf x, die größte Zahl v den 
Grad in Bezug auf y } die größte Summe y -f- v den Grad der Gleichung 
überhaupt. Ordnet man eine solche Gleichung nach Potenzen von y, 
so sind die Koeffizienten ganze Funktionen von x (und umgekehrt). 
Diese Definition umfaßt alle Funktionen, die in der vorigen ent 
halten waren, außerdem aber auch noch höhere Funktionen. Ist v — 1 
und der Koeffizient von y eine Konstante, so geht die ganze Funktion 
hervor; hängt der Koeffizient von x ab, so ergibt sich y als gebrochene 
Funktion. Von da ab, d. i. von v = 2 ab, wird y, sofern es über 
haupt reelle Bestimmungen zuläßt, im allgemeinen eine irrationale 
Funktion, läßt sich aber, sobald v die Zahl 4 überschreitet, von be 
besonderen Fällen abgesehen, nicht mehr durch Wurzelgrößen allein 
darstellen. 
Es definiert beispielsweise die algebraische Gleichung 
4x 2 -f 3x — 2y -f 1 = 0 
die ganze Funktion y — 2x 2 + 
* x + * ; die Gleichung 
x 2 + 2xy + £ + 62/-)-3 = 0 
die unecht gebrochene Funktion y = 
x 2 -f- x -(- 3 _ 
2 x 4- 6 ’ 
die Gleichung 
ax 2 -f 2bxy 4~ Ci/ 2 -f- 2fx 4- 2gy -(- h = 0 
die zweideutige Funktion y — 
— (bx -f g) ± }/(bx 4- gY — c{ax 2 ,-f- 2fx-f h) 
die sich durch Sonderung der Vorzeichen in zwei eindeutige Zweige 
auflöst; ihr Definitionsbereich ergibt sich aus der Bedingung 
(bx 4- g) 2 ^ c(ax 2 -f 2fx 4- h). 
' II. Alle Funktionen, die nicht unter die Definition der algebra 
ischen fallen, heißen transzendente Funktionen.