Inverse Funktionen. 
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Zu dieser Klasse, die sich durch Angabe positiver Merkmale 
nicht umschreiben läßt, liefert die Elementarmathematik nur wenige, 
dafür aber außerordentlich wichtige Funktionsformen. Es sind das 
die aus geometrischen Definitionen hervorgehenden Kreis-, Winkel 
oder trigonometrischen Funktionen sin x, cos x, tg x, cotg x, sec x, 
cosec x, die beiden ersten für die unbeschränkte Variable, die dritte 
und fünfte mit Ausschluß der Stellen (2 k -f 1) * , die vierte und 
sechste mit Ausschluß der Stellen kn definiert, unter k eine beliebige 
positive oder negative ganze Zahl (Null eingeschlossen) verstanden; 
dann die logarithmische Funktion log a ^ und die mit ihr im Zusammen 
hang stehende Exponentialfunktion a x (39, II, 5), beide unter der Vor 
aussetzung a > 0, die erste in dem Intervall 0 < x < oo, die zweite 
für die unbeschränkte Variable definiert. Eine weitere Gruppe von 
Funktionen wird alsbald hinzukommen. 
43. Einige besondere Arten des Funktionsverlaufs. In 
verse Funktionen. Einige Erscheinungen im Verlaufe von Funk 
tionen, auf die häufig wird hinzuweisen sein, sollen schon hier ver 
merkt werden. 
1. Die Funktion f(x) heißt in dem Intervall (a, h) konstant, wenn 
für jede zwei Werte x =4= aus demselben f(x) = f(x") ist; es ist 
dann notwendig, für jeden Wert x aus (a, h) f{x) = k, wo k eine be 
stimmte Zahl bedeutet. 
2. Eine in dem Intervall (a, h) definierte Funktion heißt monoton, 
wenn mit x < x" stets f(x) < f(x") oder stets f(x) > f (x") verbunden 
ist. Im ersten Falle heißt die Funktion zunehmend, im zweiten Falle 
abnehmend. 
Die Beziehung zwischen x und y = /(x) ist bei einer solchen 
Funktion ein-eindeutig, d. h. zu einem Wert von x gehört nur ein 
Wert von y und zu einem entsprechend gewählten Werte von y nur 
ein Wert von x. Hiernach bildet auch x eine Funktion von y, in 
Zeichen: x = cp(y). 
Zwei Funktionen, die aus einer solchen ein-eindeutigen Zuord 
nung zwischen x, y hervorgehen, indem man einmal x, ein zweitesmal 
y als die unabhängige Variable wählt, heißen inverse Funktionen. 
Schreibt man diesen Sachverhalt in der Form an: 
y =/(x), x = tp(y), (10) 
so geht daraus hervor, daß /[cp («/)]== y und cp [/(#)] = x für jedes 
zulässige y, bezw. x sein müsse; es kann also als analytisches Merk 
mal dafür, daß die durch f, cp angezeigten Funktionen invers seien, 
der Umstand angesehen werden, daß /[cp(tj] und cp[/{fj\ gleichbe 
deutend sind mit t. 
Will man in der zu y = f(x) inversen Funktion x = cp (y) die un 
abhängige Variable wieder mit x, die abhängige mit y bezeichnen