Zyklometrische Funktionen. Grenzwerte. 
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metrischen Funktionen entsprechen die folgenden Relationen zwischen 
den zyklometrischen: 
arc sin x + arc sin y = arc sin (x ]/l — yfi ± y ]/l — x 
arc sin x + arc cos y = arc cos (xy qp ]/l — x 2 ]/l 
i , , , X -f - y 
arc tg x + arc tg y = arc tg , ~ -■> 
y 
die Wurzeln in den beiden ersten Formeln positiv genommen. 
§ 2. Grenzwerte von Funktionen. 
44. Grenzwerte im Endlichen. Ist die Funktion f(x) in 
dem ganzen Intervall (a, ß) definiert, so gehört zu jeder Stelle a des 
Intervalls ein bestimmter Funktiouswert f{a), den wir den Definitions - 
wert der Funktion an dieser Stelle nennen wollen. Er wird durch 
die Substitution x = a in f{x) und Ausführung der vorgeschriebenen 
Rechenoperationen gefunden. 
Wesentlich verschieden hiervon ist die Frage nach dem Grenz 
wert der Funktion bei dem Grenzubergange lim x = a, d. h. die Frage, 
ob f{x), wenn sich x unaufhörlich der Stelle a nähert, gegen eine 
Grenze konvergiert, und welches diese Grenze ist. 
Während es im ersten Falle nur auf den Funktionswert an der 
Stelle a ankommt, bleibt bei der zweiten Frage gerade dieser außer 
Betracht, und nur um die Nachbar werte handelt es sich. Es hat also 
die zweite Frage auch dann Berechtigung, wenn f{x) an der Stelle a 
nicht definiert ist. 
Im folgenden werde, wenn nichts anderes bemerkt wird, voraus 
gesetzt, a befinde sich im Innern von {a, ß). 
Man sagt, f(x) habe bei dem Grenzübergange lim x = a einen 
Grenzwert, und dieser sei b, wenn die Differenz b ~/{x) dem Betrage 
nach beliebig klein wird, während x sich dem a fortwährend nähert; 
es läßt sich dann zu einem beliebig klein festgesetzten positiven s ein 
hinreichend kleines positives d angeben, derart, daß 
1 b —f{x) \ < s, 
wenn und solange 0 < ) x — a \ <d. 
In kurzer Weise drückt man diesen Sachverhalt durch den Ansatz 
(1) 
lim fix) = b 
(2) 
aus. 
Es ist wichtig, daß man sich den Inhalt dieser Definition zu 
völliger Klarheit bringe, was wohl am besten an einer geometrischen 
Verbildlichung gelingen wird. Zu einem beliebig engen Horizontal 
streifen der Ebene des Koordinatensystems (Fig, 16), dessen Mittel 
linie y = b ist, läßt sich ein hinreichend enger Vertikalstreifen mit