Die Zahl e. 
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fl 4- — V> 1 + — + - 1 fl — —) -\ — fl — —) + 
\ ' n) ^ ~ 1 ! 1.2 \ 2n/“l-2-8\ 2n,/ T 
fe(- 
(w — 1) n 
2n 
■in ( x + T + ïTs + ' • • + i.2:.V( W _2)) 
a,„ — 
n — 2 
und weiter 
/ 1 \ n U 3 
a n~[ lJ r n) < 2n <2n’ 
daher tatsächlich 
lim (i + —)“ = lim a n = e ■ 
Um den Übergang zu einem stetigen x zu vollziehen, genügt es, 
rationale x in Betracht zu ziehen, die nicht der Zahlenfolge ^ an 
gehören. Ist z eine solche Zahl, so fällt sie zwischen zwei aufeinander 
folgende Glieder —, — 7 dieser Folge, so daß 
° n ’ n -f- 1 ° ’ 
also 
l+i>l+2>l +—4 
n n 1 
es ist aber 
und in erhöhtem Maße 
d + D + >o+*)'> d+„+1) i 
d+ir-d+ü’d+D 
und konvergiert daher gegen e, ferner 
d+süd - d+.vn) : d + *üi) 
und konvergiert daher auch gegen e, folglich ist für jedes rationale 
i 
0:lim(l j?y= e und nach den Ausführungen von 39, II, 5) auch 
z = 0 
für ein reelles x 
i 
lim (1 + x) x = e. 
(14) 
Die Zahl e 1 ) hat in der Analysis eine außerordentliche Bedeutung 
erlangt: als Basis einer Exponentialfunktion e°, die man auch als 
1) Die Bezeichnung stammt von L. Euler.