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Der Funktionsbegriff. § 2. Grenzwerte von Funktionen.
natürliche Potenz bezeichnet, und als Basis eines Logarithmensystenis,
welches man das natürliche nennt. Die Logarithmen dieses Systems
sollen fortan durch l bezeichnet werden im Gegensätze zu den ge
meinen, für welche die Abkürzung log gebräuchlich ist; dagegen
sollen auf eine unbestimmte Basis a (> 0) bezügliche Logarithmen
mit log a angeschrieben werden; all dies drückt sich in dem Ansätze
lO log0 = a log a *= e
aus.
48. Grenzwerte von Funktionen zweier Variablen. Die
Funktion /{x, y) sei für den Bereich P definiert, der durch die Rand
kurve C begrenzt ist, Fig. 24. Der Wert f(a, b), der durch die
Substitution x = a, y = b in den Funk
tionsausdruck erhalten wird, heiße der
Definitionswert der Funktion an der Stelle
M(a, b), von der vorausgesetzt wird, daß
sie sich im Innern des Bereichs befinde.
Davon zu unterscheiden ist der Grenz
wert der Funktion bei dem Grenzüber-
gange lim x = a, lim y = h, der von dem
Werte an der Stelle M(a, b) gar nicht
abhängt, daher auch dann existieren kann,
wenn die Funktion an dieser Stelle gar nicht definiert ist, und der
von dem Substitutionswert /(a, b) verschieden sein kann, falls dieser
vorhanden ist.
Wir wollen sagen, die Funktion besitze bei dem Greuzübergange
lim x = a, lim y ==b den Grenzwert c, und dies in dem Ansätze
lim f(x, y) — c (15)
x = a, y = b
zum Ausdruck bringen, wenn sich zu einem beliebig klein festgesetzten
positiven s ein hinreichend kleines positives d bestimmen läßt der
art, daß
\°-f{x,y)\<£,
wenn und so lange \x — a \ <C 8, \ y — b | < d (16)
\x — a \ + \V ~ &i > 0;
der letzte Ansatz drückt aus, daß x (y nicht mit a b zusammenfallen
dürfe.
Bei geometrischer Deutung ist hiermit folgendes gesagt. Denkt
man sich eine Raumschichte, die von den Ebenen z = c — £ und
z = c -\- £ (parallel zur a;?/-Ebene) begrenzt ist, so läßt sich eine Um
gebung aßyd des Punktes M angeben derart, daß der über ihr liegende
Teil der die Funktion darstellenden Fläche ganz in jener Raumschichte
enthalten ist.
