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SUR L’USAGE DES SÉRIES INFINIES DANS LA THÉORIE DES NOMBRES. 
théorème connu: 
T'-h ü'Yd = ( T-\- u | d)\ 
À étant un entier et par conséquent; 
Iog(y'-h £/']/7>) 
log (2 T + ‘ 
C’est donc de cet entier / que dépend le nombre des formes, mais l’ex 
pression de cette dépendance présente quelque légère différence selon les diffé 
rentes formes dont le déterminant D est susceptible. 
L’analyse que nous venons d’indiquer d’une manière rapide, en même 
temps qu’elle détermine le nombre des formes, a l’avantage de simplifier singu 
lièrement plusieurs théories très importantes déjà connues, mais qui n’avaient 
été établies que par des méthodes très compliquées. De ce genre sont celles 
qui se résument dans les beaux théorèmes démontrés par M. Gauss dans les 
art. 252, 261 et 287, III. des Disq. arith., et dont le dernier surtout exigeait 
jusqu’à présent le concours d’un grand nombre de recherches très étendues. 
(Voyez la tin de l’art. 287.) Ce même théorème résulte aüssi d’une combi 
naison très simple de la loi de réciprocité avec la proposition sur la progression 
arithmétique, mais ce moyen de démonstration ne diffère pas au fond de celui 
que nous venons d’indiquer, du moins lorsque, pour établir que toute pro 
gression arithmétique renferme une infinité de nombres premiers, on a recours 
aux séries, comme nous l’avons fait dans le mémoire cité plus haut. 
Les théorèmes qui déterminent le nombre des formes quadratiques, ren 
ferment implicitement un grand nombre de propositions qui peuvent s’énoncer 
indépendamment de la théorie de ces formes, et qui seraient peut-être très diffi 
ciles à démontrer sans le secours combiné de nos séries et des formules de 
M. Gauss. 11 résulte, par exemple, de ce qu’on a vu plus haut que pour un 
nombre premier q = 4r-)-3, la somme des non-résidus quadratiques surpasse 
toujours celle des résidus*), que pour un nombre premier p = 4^4-1, il y a 
toujours un plus grand nombre de résidus que de non-résidus moindres que 
J-p, etc. On peut encore augmenter le nombre de ces propositions, les séries 
*) On a encore A > B, A et B désignant comme ci-dessus combien il y a de résidus et de non- 
résidus de g, au-dessous de \q. Dans un article du Bulletin de M. de Férussac (Mars 1831, p. 137), où 
JL Cauchy énonce un théorème très remarquable sur les nombres premiers 4v+3, ce célèbre analyste 
distingue deux cas selon que A > B ou A < B. Ce qu’on a prouvé plus haut, montre que le second cas 
ne saurait avoir lieu et fait cesser l’indétermination que le théorème de M. Cauchy semblait présenter.