Full text: Über die Trennung der reellen Wurzeln reeller numerischer Gleichungen mit Einer Unbekannten

21 
Dirksen : über die Trennung der TVurzeln 
und h enthaltenen, hesondern Werth von oc Null werde. Vorausgesetzt, dafs 
fi ( a ) und/ ? (¿)> wie auch/ f+1 (a) und f ?+t (^beziehungsweise gleichnahmig 
seien; so sind zwei Fälle denkbar. Entweder wird, indem sich x von a bis 
h ändert, (o?) ein- oder mehrmals Null, oder solches ist nicht der Fall. 
Wird (x) ein- oder mehrmals Null, und bezeichnen c x , c 2 , c 3 , c 4 , • • • • c n 
die, nach ihrer Gröfse geordneten, entsprechenden hesondern Werthe von 
cc; so mufs, nach Lehrs. 4., f i+i (cc) wenigstens (n — i) mal den Werth Null 
erlangen, und zwar insgesammt für Werthe von cc, die gröfser, als c x und 
< c n sind. Den Voraussetzungen nach hat man alsdann 
fs (< c i) imcl f !+ 1 (< c i) ungleichnahmig, 
fi (> c n) und f l+l (> c n ) gleichnahmig, 
f (d) und (< c x ) gleichnahmig. 
Sind demnach^ (d) undjF ?+1 (d) gleichnahmig; so sindy* f+1 (d) undjT e+1 (< c x ) 
ungleichnahmig: mithin gibt es wenigstens Einen Werth k t für cc, zwischen 
a und c i9 — und daher wenigstens n Werthe k x , k 2 , k 3 , & 4 , • • • • k n für cc, 
zwischen a und h enthalten, für welche f i+i (cc) den hesondern Werth Null 
erlangt. Sind aherj^(«) undy* ?+1 (a) ungleichnahmig, so sind es auch, der 
in Rede stehenden Annahme zufolge, f ? (b) undy ?+1 (b). Da nun, wie schon 
bemerkt, f (> c n ) und f +i (> c n ) gleichnahmig sind, und es, der Annahme 
nach, keinen Werth zwischen c n und b gibt, für welchen (x) Null wird: 
so folgt, dafs es wenigstens auch Einen Werth zwischen c n und b, — und 
daher n Werth zwischen a und b für cc geben mufs, für welchen f ?+i (cc) in 
den hesondern Werth Null übergeht. Da endlich, wenn auch (cc) nicht 
den Werth Null erlangt, von oc — a bis oc = b, dennoch f !+i (a?) ein- oder 
mehrmals Null werden kann: so folgt, dafs, wenn^ (a) und (b), wie auch 
/<+.(«) undy e+1 (b) beziehungsweise gleichnahmig sind, alsdann (¿r), von 
x = a bis oc = b, nicht öfter den Werth Null annehmen kann, als/^ (x). 
Vermöge des vorhin gewonnenen, und einer wiederholten Anwendung 
des so eben erlangten Ergebnisses erhält man 
Lehrsatz 6. a. Wird, indem sich x von «bis b, beziehungsweise 
zwischen A und B enthalten, ändert, keins von den Gliedern der Reihe 
R { ^ (x) Null: so sind die Zeichen-Reihen Z\ ß) (a) und Z^ (b), Glied für 
Glied, einerlei; und es können dieselben nur in so fern von einander ver-
	        
Waiting...

Note to user

Dear user,

In response to current developments in the web technology used by the Goobi viewer, the software no longer supports your browser.

Please use one of the following browsers to display this page correctly.

Thank you.