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Dirksen : über die Trennung der TVurzeln
und h enthaltenen, hesondern Werth von oc Null werde. Vorausgesetzt, dafs
fi ( a ) und/ ? (¿)> wie auch/ f+1 (a) und f ?+t (^beziehungsweise gleichnahmig
seien; so sind zwei Fälle denkbar. Entweder wird, indem sich x von a bis
h ändert, (o?) ein- oder mehrmals Null, oder solches ist nicht der Fall.
Wird (x) ein- oder mehrmals Null, und bezeichnen c x , c 2 , c 3 , c 4 , • • • • c n
die, nach ihrer Gröfse geordneten, entsprechenden hesondern Werthe von
cc; so mufs, nach Lehrs. 4., f i+i (cc) wenigstens (n — i) mal den Werth Null
erlangen, und zwar insgesammt für Werthe von cc, die gröfser, als c x und
< c n sind. Den Voraussetzungen nach hat man alsdann
fs (< c i) imcl f !+ 1 (< c i) ungleichnahmig,
fi (> c n) und f l+l (> c n ) gleichnahmig,
f (d) und (< c x ) gleichnahmig.
Sind demnach^ (d) undjF ?+1 (d) gleichnahmig; so sindy* f+1 (d) undjT e+1 (< c x )
ungleichnahmig: mithin gibt es wenigstens Einen Werth k t für cc, zwischen
a und c i9 — und daher wenigstens n Werthe k x , k 2 , k 3 , & 4 , • • • • k n für cc,
zwischen a und h enthalten, für welche f i+i (cc) den hesondern Werth Null
erlangt. Sind aherj^(«) undy* ?+1 (a) ungleichnahmig, so sind es auch, der
in Rede stehenden Annahme zufolge, f ? (b) undy ?+1 (b). Da nun, wie schon
bemerkt, f (> c n ) und f +i (> c n ) gleichnahmig sind, und es, der Annahme
nach, keinen Werth zwischen c n und b gibt, für welchen (x) Null wird:
so folgt, dafs es wenigstens auch Einen Werth zwischen c n und b, — und
daher n Werth zwischen a und b für cc geben mufs, für welchen f ?+i (cc) in
den hesondern Werth Null übergeht. Da endlich, wenn auch (cc) nicht
den Werth Null erlangt, von oc — a bis oc = b, dennoch f !+i (a?) ein- oder
mehrmals Null werden kann: so folgt, dafs, wenn^ (a) und (b), wie auch
/<+.(«) undy e+1 (b) beziehungsweise gleichnahmig sind, alsdann (¿r), von
x = a bis oc = b, nicht öfter den Werth Null annehmen kann, als/^ (x).
Vermöge des vorhin gewonnenen, und einer wiederholten Anwendung
des so eben erlangten Ergebnisses erhält man
Lehrsatz 6. a. Wird, indem sich x von «bis b, beziehungsweise
zwischen A und B enthalten, ändert, keins von den Gliedern der Reihe
R { ^ (x) Null: so sind die Zeichen-Reihen Z\ ß) (a) und Z^ (b), Glied für
Glied, einerlei; und es können dieselben nur in so fern von einander ver-