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Dirksen; über die Trennung der TVurzeln
folglich, indem man hiermit Lehrs. 2. verbindet,
KO =
Und umgekehrt, wird für keinen, zwischen A und B enthaltenen, hesondern
Werth von oc, eine ungerade Anzahl der unmittelbar auf einander folgenden
Anfangsglieder der Reihe Ii { x {oc), zugleich mit f 0 (*)> Null, und hat man
KO = v-
so giebt es stets gerade ju. von einander verschiedene, insgesammt zwischen
A und B enthaltene, besondere Werthe von oc, für welche beziehungsweise
die Gleichung
/0 ( x ) = °
stattfindet.
Zusatz 3. Da die Zahl KO niemals > r, die Anzahl aller Zeichen
stände, den Reihen K iß) un d K iß) entsprechend, sein kann: so wird,
unter den Voraussetzungen des vorigen Lehrsatzes, in Verbindung mit der
ausdrücklichen Annahme, dafs für keinen, zwischen A und B enthaltenen,
hesondern Werth von oc, eine ungerade Anzahl der unmittelbar auf einander
folgenden Anfangsglieder der Reihe B} r x {oc) mit f 0 {pc) den Werth Null anneh
men, die Anzahl der verschiedenen, zwischen A und B enthaltenen, heson
dern Werthe von oc, für welche die Gleichung
/0 (■») = °
stattfindet, niemals gröfser, als r sein kann.
Zusatz 4. Da keine ungerade Anzahl von den unmittelbar auf ein
ander folgenden Anfangsgliedern der Reihe R { ,{oc), zugleich mit f 0 (V), Null
werden kann, wofern nicht f 0 (V) und f x (V) zugleich Null werden; so wer
den die Ergebnisse der beiden vorigen Zusätze, unter andern, ihre Richtig
keit haben, wofern nur, für keinen, zwischen A und B enthaltenen, heson
dern Werth von oc, f Q (oc) und f x {oc) zugleich den Werth Null annehmen.
Zusatz 5. Findet die Erfüllung der oben ausgesprochenen Bedin
gungen für alle denkbaren, reellen hesondern Werthe von oc statt; so gelten
auch die vorigen Ergebnisse von oc — — 00 bis oc = -|- 00.
Anmerk. Es ist der 10 te Lehrsatz, welcher als der, der Sturmschen
Trennungs Methode zu Grunde liegende, Haupt-Lehrsatz betrach
tet werden kann.