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Dirksen ; über die Trennung der Wurzeln 
Gr \f/ (x) • F'(x) und Gr F'(x) 
gleich- oder ungleichnahmig, je nachdem Gr ^(x) positiv oder negativ ist. 
Dem vorigen Resultate nach werden also 
Gr \jy (x) • F' (x) und Gr f'(po) 
x = i ~ = i 
gleichnahmig sein, sobald nur Gry(^) und Gr <p(x) gleichnahmig sind. 
Da nun, wenn f (x), <p’ {x) und d/(x), von x = A bis x = B, conti- 
nuirlich sind, solches auch mit f(x), cp(x) und 
'K'*) . F'(x) = \p(x) {(p(x) • f\x) +f(x) • <p\oc)} 
der Fall sein wird: so folgt, dafs, wennjG(-x), (p\{ü) und ^ ?+i (pc) drei, von 
x = A bis x — B, continuirliche Functionen von x bezeichnen, von denen, 
innerhalb eben dieses Intervalls, cp ? (x) und 4 / ?+l (x) gleichnahmig sind, und 
4>i( x ) •f( x ) = F ii x )> 
fii x ) =/( x ). 
/;+. ( x ) = ( x ) • F ’, ( x ) 
gesetzt wird, — alsdann die so näher bestimmten Functionen (x) und 
/ t+ .( x ) den, unter (a) und (/3) enthaltenen Bedingungen entsprechen werden. 
Durch eine wiederholte Anwendung dieses Ergebnisses erlangt man 
Lehrsatz 13. Bleiben, von x = A bis x — B, continuirlich 
der Differenzial-Quotient der r ten Ordnung von f 0 (¿r); 
« « « der (r — ^) ten Ordnung von (p^oc), von £ = o, 
bis g — (/’ — i); 
« « « der (r — £— i) tcn Ordnung von (x), von 
£ = o bis £ == (r — i); 
sind ferner und \fy ?+i (x), von x — A bis x = B f für einerlei Werth 
von £, gleichnahmig: so wird diejenige Reihe von Functionen, deren An 
fangsglied f 0 (a?) ist, und deren folgende Glieder, von £ = o bis £ = r — i, 
durch die Gleichung 
bestimmt werden, den, unter (a) und (/3) enthaltenen, Bedingungen des 9 ten 
Lehrsatzes genügen.