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Dritter Abschnitt. Einfache und mehrfache bestimmte Integrale. 187 
f{x; У> z)dxdydg 
R 
=f{ r sin 6 cosqo, rsinB sinqp, rcos 6)r 2 sin QdrdQdy 
und die Grenzen der Integration müssen jedesmal der Begren 
zung von jR angepasst werden. 
279. Es unterliegt keiner Schwierigkeit, die Begriffsbil 
dung, aus welcher das doppelte und das dreifache Integral 
hervorgegangen sind, auf eine Function von mehr als drei, 
allgemein von n Yariabeln auszudehnen. 
Ist f(x x , x 2 , . . . x n ) eine solche Function und integrirt 
man sie successive nach den n Yariabeln in einer festgesetzten 
Reihenfolge, wobei die Grenzen einer Integration entweder feste 
Werte oder aber Functionen derjenigen Yariabeln sind, nach 
welchen noch nicht integrirt worden ist, so entsteht ein 
n-faches bestimmtes Integral jener Function, das bei der Reihen 
folge x n , x n —i,x x mit Beifügung der Grenzen zu schrei 
ben wäre 
U 1 U 4 un 
J*dx x J*dx 2 . , .J f(x x , x 2 ,. .. Xn) dx n . 
Ein solches Integral entsteht aber auch als Grenzwert 
einer n-fachen Summe von dem Baue 
(44) >< 
(x^-x^-V) • • • (a 
iX n ) 
x. 
,(2 —2) 
welche sich auf solche Wertverbindungen der Yariabeln be 
zieht, die einer oder mehreren Bedingungen der Form 
(45) F(x x , x 1} ... x n ) 0 
genügen, für gegen Null abnehmende 
*?* ,_2) (» — 1,2,...»). 
Die Ausdrucksweise der früheren Fälle beibehaltend nennt 
man diesen Grenzwert das über den n-dimensionalen Raum 
K, der durch (45) gekennzeichnet ist, ausgedehnte n-fache 
Integral und gebraucht dafür das Symbol 
(46) • * • x n)dx x dx2... dx n .