Vierter Abschnitt. Anwendung der Integral-Rechnung. 197 
da Zähler und Nenner des Bruches durch tg<jp -f- 1 theilbar 
sind, hat man schliesslich 
о _ 2l Г tg y 0 — 2 tg cp, — 2 ~[ _ 
2 Ltg ф 0 2 — tg ф 0 + 1 tg 2 cp, — tg cp, + 1J ' 
• з 
Mit <p x = n und lim cp 0 = ——f- 0 ergibt sich hieraus die 
zwischen dem unendlichen Curvenaste, der Asymptote und ober 
OX' liegende Fläche gleich ~; ebenso gross ist, vermöge der 
Symmetrie, die zwischen der Asymptote, dem unendlichen 
Curvenaste und rechts von OY' gelegene Fläche; da endlich 
a s 
auch das Dreieck OB A den Inhalt — hat, so ist die zwischen 
der Asymptote und der Curve enthaltene Fläche 
Q 3 a 3 
— 2 
ebenso gross wie die Schleife. 
6) Quadratur der Lemniscate. Diese algebraische Curve 
vierter Ordnung, welche auf Grund ihrer Gleichung 
(.x 2 + у 2 ) 2 — a 2 (x 2 — у 2 ) — 0 
in rechtwinkligen Coordinaten in 127, 2) discutirt worden ist, 
hat in Polarcoordinaten die Gleichung 
r 2 = а 2 cos 2 g). 
Ein Quadrant derselben hat die Fläche 
П 
S = yJ C°s2<pdcp = ^ |sin2 
0 
folglich die ganze Curve die Fläche a 2 ; sie 
gehört also zu den „im engeren Sinne quadrir- 
baren“ Curven, weil sich aus dem ihr zu 
grundeliegenden Parameter a durch Con- 
struction mit Lineal und Zirkel ein flächen 
gleiches Quadrat herstelleu lässt. 
7) Die Fläche zwischen einem Curvenbogen AB, den 
Krümmungsradien AG, BI) seiner Endpunkte und dem zuge 
hörigen Bogen CD der Evolute zu bestimmen, Fig. 139. 
Das Element dieser Fläche, welches durch die Krümmungs 
radien zweier sehr nahen Punkte M, M' und durch die Bögen 
MM', Slil' begrenzt ist, kann bis auf Grössen höherer als 
Fig. 139.