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Zweiter Theil. Integral-Rechnung. 
Sinn, aber einen weniger als halb so grossen Betrag gegen 
über dem früheren; letzteres erklärt sich dadurch, dass die 
Tangenten enger der Curve sich anschliessen als die Sehnen. 
III. Eine weitere, von Parmentier herrührende Formel 
ergibt sich, wenn man die Curve nach Theilung von {a, h) in 
2n Theile h = durch das Sehnenpolygon M 0 M 1 M 3 M 5 ... 
M 2 n—iM 2n ersetzt; die so entstandene Figur zerfällt dann in 
zwei Trapeze von der Breite h mit den Inhalten 
, Vo + V\ 7 V^n-\ + Vz-n 
h — ; h 
und in n — 1 Trapeze von der Breite 2 h mit den Flächen 
h(jJi + Va) > h(y 3 + Vo) ? • • • ^ii/zn-a + y^n—x) \ 
durch Zusammenfassung erhält man 
& 
2h 
(6) J*ydx = 
Vo Vi ... . , y%n y%n—i 
—T h^i + ysH h2/a«-H 1 
Angenommen, die Curve wäre im ganzen Verlaufe nach 
oben convex; dann liefert Formel (5) einen zu grossen, (6) 
einen zu kleinen Wert, und der Unterschied beider, d. i. 
(7) 2h 
y 0 y\ , y%n y^n—i 
—a 1 a 
= h 
yo + Vzn yi + y^n—i 
ist grösser als die Abweichung jedes der beiden Näherungs 
beträge von dem strengen Werte. Dieser Unterschied lässt 
sich geometrisch leicht construiren; 
die Sehne MoM. 2n , Fig. 142, schnei 
det nämlich auf der mittleren Ordi 
nate y n die Strecke , die 
Sehne M x M 2n —i die Strecke 
y 1 f y2 71 1 1 1 ■] • ■ r-o 
ab, und die Dinerenz 
beider Strecken bestimmt mit h ein 
Rechteck, das durch (7) ausgedrückt ist; dieses Rechteck ge 
stattet dann sowohl den Fehler der Formel (5) wie jenen von 
(6) zu schätzen. 
Die Formel (6) verlangt ausser der Messung der Ordinaten 
Fig. 142.