Vierter Abschnitt. Anwendung der Integral-Rechnung. 207 
d -j— 2 h 
geben; und nun ersetze man J*f(x)dx näberungsweise durch 
a 
das Integral dieser Function, d. i. laut (8) durch 
Y + tyi + 2/2] • 
Auf Grund analoger Erwägungen tritt an die Stelle von 
cl-j- 4 h 
J*f{x)dx der Ausdruck 
a + 26 
[i/2 + 4y 8 + yj, 
u 
u. s. w.; schliesslich an die Stelle von J*f(x)dx 
h 
6—2/i 
3 [^/Sre — 2 + 4i/2n —1 + 2/2 «] • 
Durch Zusammenfassung erhält man schliesslich die Nähe 
rungsformel 
( 6 
J* f(x)dx = y [y° + Vzn + 2(y 3 + 2/4 + • • • + 2/2«—2) 
+ 4(j/l + 2/3 + • • • + i/2« —1)] , 
welche unter dem Namen der Simpson’sehen Hegel bekannt ist. 
Die geometrische Bedeutung des ganzen Vorganges liegt 
in Folgendem. Nachdem man die zu quadrirende Fläche durch 
die äquidistanten Ordinaten y 0 , yi, • • • i/2« in Streifen zerlegt 
hat, denke man sich die Bogenstücke 
M 0 M\M 2 , M 2 M S M±, • • • M 2n — 2 Af 2w _i Af 2 « 
durch Parabelbögen von der Gleichungsform 
y = u -f- ßx -f- y# 2 , 
d. i. durch Parabeln mit zu 0V paralleler Axe ersetzt, deren 
erste durch die drei Punkte M 0 , M 1} Jf 2 , deren zweite durch 
M 2} M S} M A hindurchgeht u. s. w. Der Ausdruck rechts in 
(9) gilt für die so abgeänderte Fläche, die sich bei genügend 
kleinem h augenscheinlich von der gegebenen nicht erheblich 
unterscheiden kann. 
Dies bestätigt auch die folgende Untersuchung. Entwickelt 
ci —j— 2 h 
man jf(x)dx nach der Taylor’schen Reihe, so ergibt sich