Vierter Abschnitt. Anwendung der Integral-Rechnung. 211 
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nimmt, gegen eine bestimmte Grenze, nämlich gegen den In 
tegralwert 
fv 
1 -j- f{xfdx, 
Fig. 143. 
AI 
M. 
M, 
M.. 
M' 
wenn nur y 1 -j- f{xf, also auch fix), eine in dem Intervalle 
(a, b) endliche und stetige Function ist. Der Definition gemäss 
ist also die Länge des Bogens Jf 0 M% n ausgedrückt durch 
b 
(1) s =J yi -)- y' 2 dx. 
a 
Weil der Grenzwert der obigen Summe derselbe bleibt, 
wenn man die x^k—i durch beliebige Zwischenwerte ersetzt, 
so gilt der Satz: Zieht man an die 
Bogenstücke M 0 M 2 , 
Fig. 143, in beliebigen Punkten M 1} 
M 3} M 5 ,... Tangenten und begrenzt 
diese durch die benachbarten Thei- 
lungsordinaten, so ist der Grenzwert 
der Summe dieser Tangentenstücke un 
abhängig von der Wahl der Zwischen 
punkte und gleich der Länge des 
ganzen Bogens. 
Führt man an Stelle von x eine neue Variable u ein 
durch die Substitution 
x = x(u), 
wodurch vermöge der Curvengleichung auch 
2/= 2/0) 
wird, so kommt an die Stelle von y der Quotient (42, II) 
00 \K') 
und an die Stelle von dx der Ausdruck x{u)du; sind dem 
nach cc, ß die den Werten a, b von x entsprechenden Werte 
der Yariabeln u, so gilt 
0) 
s = I yx{uf -f- yiuf du, 
eine Formel, die bei parametrischer Darstellung der Curve zur 
Anwendung kommt.